Maxima und Minima II < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | Bestimme Extrema von
[mm]f(x,y) = x^2+y^2-2x+2y+2[/mm] auf der Menge [mm]K= \{(x,y):x^2+y^2 \leq3\}[/mm] |
Hallo :)
K ist kompakt und f stetig, daher muss f auf K Maximum und Minimum annehmen.
Im inneren also bei offenem K [mm]K= \{(x,y):x^2+y^2 < 3\}[/mm] sind Extrema Nullstellen der ersten Ableitung.
[mm]f_x = 2x -2 = 0[/mm]
[mm]f_y = 2y +2 = 0[/mm]
Die einzige Lösung ist x=1 und y=-1
[mm]H_f = \pmat{ 2 & 0 \\ 0& 2 } [/mm]
Demnach ist die Hesse-Matrix positiv definit, und daher liegt bei (1,-1) das Minimum 0.
Das kann ich jetzt schon mit Sicherheit sagen, oder?
Nun wird der Rand untersucht:
[mm]K= \{(x,y):x^2+y^2 = 3\}[/mm]
Mit Lagrange-Multiplikatoren:
[mm]2x-2 = \lambda * 2x[/mm]
[mm]2y+2 = \lambda * 2y[/mm]
Umstellen nach [mm] \lambda[/mm] ergibt:
[mm]\frac{2x-2}{2x} = \frac{2y+2}{2y} \rightleftharpoons 4xy-4y = 4xy+4x \rightleftharpoons -4y = 4x[/mm]
So hier habe ich jetzt aber unendlich viele Lösungen.
Was habe ich falsch gemacht?
Mopsi
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> Bestimme Extrema von
>
> [mm]f(x,y) = x^2+y^2-2x+2y+2[/mm] auf der Menge [mm]K= \{(x,y):x^2+y^2 \leq3\}[/mm]
>
>
> Hallo :)
Also auf ein neues :)
>
> K ist kompakt und f stetig, daher muss f auf K Maximum und
> Minimum annehmen.
> Im inneren also bei offenem K [mm]K= \{(x,y):x^2+y^2 < 3\}[/mm]
> sind Extrema Nullstellen der ersten Ableitung.
Ja ganz Richtig auf der offenen Menge K sind die Extrema Nullstellen der ersten Ableitung
>
> [mm]f_x = 2x -2 = 0[/mm]
> [mm]f_y = 2y +2 = 0[/mm]
>
> Die einzige Lösung ist x=1 und y=-1
>
> [mm]H_f = \pmat{ 2 & 0 \\ 0& 2 }[/mm]
>
> Demnach ist die Hesse-Matrix positiv definit, und daher
> liegt bei (1,-1) das Minimum 0.
> Das kann ich jetzt schon mit Sicherheit sagen, oder?
Ja das ist richtig der Punkt (1,-1) erfüllt die Bedingung im Inneren von K zu liegen und du ersiehst aufgrund der Hesse Matrix dass es sich um ein Minimum handelt.
>
> Nun wird der Rand untersucht:
>
> [mm]K= \{(x,y):x^2+y^2 = 3\}[/mm]
>
> Mit Lagrange-Multiplikatoren:
>
> [mm]2x-2 = \lambda * 2x[/mm]
> [mm]2y+2 = \lambda * 2y[/mm]
>
Moment: Mache es langsam
Behauptung 1: Die Methode Der Lagrange Multiplikatoren ist anwendbar.
Beweis: Prüfen der Bedingungen tu ich nicht - ja ist anwendbar.
Nun zur Rechnung:
sei g(x,y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 3 = 0
es folgt elementaren Überlegungen dass:
[mm]\Phi(x,y,\lambda) =x^2+y^2-2x+2y+2 +\lambda*(x^2+y^2-3)[/mm]
diffen nach [mm] x,y,\Lambda [/mm] liefert die Gleichungen:
I: [mm] 2x-2+2*\lambda*x
[/mm]
II: [mm] 2y+2+2*\lambda*y
[/mm]
III: [mm] x^2+y^2-3
[/mm]
Umstellen und Gleichsetzen von I,II liefert nun:
[mm]\frac{2x-2}{-2x} = \frac{2y+2}{-2y}[/mm]
es folgt:
-4xy-4x = -4xy +4y [mm] \rightarrow [/mm] -x = y.
Einsetzen dieser Tatsache in die Nebenbedingung [mm] x^2+y^2 [/mm] = 3 liefert :
[mm]2y^2 = 3 \rightarrow y = +/- \wurzel{\frac{3}{2}}[/mm]
>
> Umstellen nach [mm]\lambda[/mm] ergibt:
>
> [mm]\frac{2x-2}{2x} = \frac{2y+2}{2y} \rightleftharpoons 4xy-4y = 4xy+4x \rightleftharpoons -4y = 4x[/mm]
>
> So hier habe ich jetzt aber unendlich viele Lösungen.
WIESO UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN????
> Was habe ich falsch gemacht?
>
> Mopsi
>
Nun fahre fort ;)
Lg Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
> Also auf ein neues :)
Ich bin dir so dankbar, dass du mir hilfst :-*
> > Umstellen nach [mm]\lambda[/mm] ergibt:
> >
> > [mm]\frac{2x-2}{2x} = \frac{2y+2}{2y} \rightleftharpoons 4xy-4y = 4xy+4x \rightleftharpoons -4y = 4x[/mm]
Das heißt, das hier ist das gleiche Ergebnis, dass du auch erhalten hast oder?
> WIESO UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN????
Ich dachte es gibt unendlich viele Lösungspaare, weil diese Gleichung für
(x,y) = (1,-1),(2,-2)(3,-3) eine wahre Aussage ergibt.
Aber ich habe die Nebenbedingung ganz vergessen.
> Nun fahre fort ;)
[mm]2y^2 = 3 \rightarrow y = +/- \wurzel{\frac{3}{2}} [/mm]
[mm]\textrm{aus x = -y folgt } x = -/+ \wurzel{\frac{3}{2}} [/mm]
Wir erhalten also zwei kritische Punkte:
[mm]P_1=(-\wurzel{\frac{3}{2}}, \wurzel{\frac{3}{2}})[/mm]
[mm]P_2=(\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})[/mm]
Einsetzen in f liefert:
[mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
[mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
So habe ich nun drei Extrema? Bei (1,-1) ist das Minimum 0. Ich habe abgeschätzt, dass [mm]-4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] etwas größer als Null ist, deshalb müsste es Maximum sein und daher bei [mm]4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] wieder ein Minimum?
Ist das so korrekt?
Mopsi :)
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> > Also auf ein neues :)
>
> Ich bin dir so dankbar, dass du mir hilfst :-*
>
> > > Umstellen nach [mm]\lambda[/mm] ergibt:
> > >
> > > [mm]\frac{2x-2}{2x} = \frac{2y+2}{2y} \rightleftharpoons 4xy-4y = 4xy+4x \rightleftharpoons -4y = 4x[/mm]
>
> Das heißt, das hier ist das gleiche Ergebnis, dass du auch
> erhalten hast oder?
>
> > WIESO UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN????
>
> Ich dachte es gibt unendlich viele Lösungspaare, weil
> diese Gleichung für
> (x,y) = (1,-1),(2,-2)(3,-3) eine wahre Aussage ergibt.
> Aber ich habe die Nebenbedingung ganz vergessen.
>
Ja die Nebenbedingung hast du eindeutig vergessen :)
>
> > Nun fahre fort ;)
>
> [mm]2y^2 = 3 \rightarrow y = +/- \wurzel{\frac{3}{2}} [/mm]
>
> [mm]\textrm{aus x = -y folgt } x = -/+ \wurzel{\frac{3}{2}} [/mm]
>
> Wir erhalten also zwei kritische Punkte:
>
> [mm]P_1=(-\wurzel{\frac{3}{2}}, \wurzel{\frac{3}{2}})[/mm]
>
> [mm]P_2=(\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})[/mm]
>
> Einsetzen in f liefert:
>
> [mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
>
> [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
>
> So habe ich nun drei Extrema? Bei (1,-1) ist das Minimum 0.
Was Meinst du mit Minimum 0 ?
Aso der Funktionswert f(1,-1) = 0 . Ja das stimmt aber ist unnötig zu bestimmen.
Extrema welche du durch 0 setzen der ABleitung herausfindest werden durch die Hesse Matrix schon als Minima klassifiziert.
es folgt:
Das Minimum im Inneren ist (1,-1). Ende.
> Ich habe abgeschätzt, dass [mm]-4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] etwas
> größer als Null ist, deshalb müsste es Maximum sein und
> daher bei [mm]4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] wieder ein Minimum?
Du musst nichts schätzen! Du ersiehst sofort dass einer ganz klar > 0 ist und auf jeden Fall einen wesentlich größeren Funktionswert hat als der andere.
Das sind nun Extrema am "Rand" setze sie ein und sieh welcher Punkt nun "größeren" Funktionswert hat - Dieser ist Max , der der kleineren hat ist Min.
[mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] ganz klar > [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
>
>
> Mopsi :)
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
> > [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
>
> >
> > So habe ich nun drei Extrema? Bei (1,-1) ist das Minimum 0.
>
> Was Meinst du mit Minimum 0 ?
Das ist der Wert wenn man (1,-1) in f einsetzt. Ich dachte das Minimum ist der Wert und es liegt bei (1-1).
> Das Minimum im Inneren ist (1,-1). Ende.
>
> > Ich habe abgeschätzt, dass [mm]-4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] etwas
> > größer als Null ist, deshalb müsste es Maximum sein und
> > daher bei [mm]4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] wieder ein Minimum?
>
> Du musst nichts schätzen! Du ersiehst sofort dass einer
> ganz klar > 0 ist und auf jeden Fall einen wesentlich
> größeren Funktionswert hat als der andere.
> Das sind nun Extrema am "Rand" setze sie ein und sieh
> welcher Punkt nun "größeren" Funktionswert hat - Dieser
> ist Max , der der kleineren hat ist Min.
>
> [mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
> ganz klar > [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
Aber ich dachte Maximum und Minimum müssen sich abwechseln?
Und wir haben doch jetzt alle Extrema auf K bestimmt und wenn es drei sind und bei (1,-1) ein Minimum ist, dann muss bei [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] ein Maximum (da größer als 0 aber kleiner als der andere Punkt) und bei [mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] ein Minimum liegen, weil auf ein Minimum ein Maximum und dann wieder Minimum folgt.
Oder etwa nicht?
In der Lösung stehen komischerweise nur zwei Extrema:
Minimum:(1,-1)
Maximum: [mm] 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
Das heißt der andere Punkt wird gar nicht aufgeführt. Weißt du warum?
Mopsi
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> > > [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
>
> >
> > >
> > > So habe ich nun drei Extrema? Bei (1,-1) ist das
> Minimum 0.
> >
> > Was Meinst du mit Minimum 0 ?
>
> Das ist der Wert wenn man (1,-1) in f einsetzt. Ich dachte
> das Minimum ist der Wert und es liegt bei (1-1).
>
> > Das Minimum im Inneren ist (1,-1). Ende.
> >
> > > Ich habe abgeschätzt, dass [mm]-4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
> etwas
> > > größer als Null ist, deshalb müsste es Maximum sein
> und
> > > daher bei [mm]4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm] wieder ein Minimum?
> >
> > Du musst nichts schätzen! Du ersiehst sofort dass
> einer
> > ganz klar > 0 ist und auf jeden Fall einen wesentlich
> > größeren Funktionswert hat als der andere.
> > Das sind nun Extrema am "Rand" setze sie ein und sieh
> > welcher Punkt nun "größeren" Funktionswert hat -
> Dieser
> > ist Max , der der kleineren hat ist Min.
> >
> > [mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
>
> > ganz klar > [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
>
>
> Aber ich dachte Maximum und Minimum müssen sich
> abwechseln?
> Und wir haben doch jetzt alle Extrema auf K bestimmt und
> wenn es drei sind und bei (1,-1) ein Minimum ist, dann muss
> bei [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
> ein Maximum (da größer als 0 aber kleiner als der andere
> Punkt) und bei [mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
> ein Minimum liegen, weil auf ein Minimum ein Maximum und
> dann wieder Minimum folgt.
>
> Oder etwa nicht?
>
> In der Lösung stehen komischerweise nur zwei Extrema:
> Minimum:(1,-1)
> Maximum: [mm]4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
>
> Das heißt der andere Punkt wird gar nicht aufgeführt.
> Weißt du warum?
Ja weil (1,-1) auch das Minimum ist. Der Randpunkt hat größeren Funktionswert. Du siehst also dass das Minimum nicht am Rand angenommen wird:)
>
> Mopsi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 So 16.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Das Beispiel ist somit erledigt.
Ich schaue erst morgen wieder hier rein - falls es dann noch offene Fragen gibt beantworte ich sie gerne
Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 So 16.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Frage 1:
Heißt das, dass f auf K genau ein Maximum und genau ein Minimum annimmt?
Kann man das verallgemeinern?
Denn wenn f nur genau ein Max und ein Min animmt, und ich wie in dieser Aufgabe 3 kritische Punkte habe, dann schaue ich mir einfach die Funktionswerte an und der kleinste muss Minimum sein und der größte Maximum.
Frage 2:
Was ist wenn f aus 3 veränderlichen besteht und die Nebenbedingung auch.
Nimmt f dann auf K (K ist kompakt) auch genau ein Maximum und ein Minimum an?
Frage 3:
Und GANZ WICHTIG:
Was ist wenn ich vier verschiedene Punkte finde und alle einen verschiedenen Funktionswert haben.
Wie bestimme ich dann Maxima und Minima? Oder kann das gar nicht passieren?
Frage 4:
Was wäre wenn unser f(1,-1) ein Maximum wäre. Hätte ich dann trotzdem bei
[mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5 [/mm] ein Maximum, weil der Funktionswert größer ist als [mm] f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5 [/mm]?
Frage 5:
Es ist nicht egal, ob ich nun ein Maximum oder ein Minimum im Inneren gefunden habe.
Denn wenn ich ein Minimum im Inneren gefunden habe, und zwei Kandidaten am Rand (durch Lagrange) gefunden habe, dann ist der mit dem größeren Funktionswert Maximum?
Frage 6:
Aber was ist, wenn beide Kandidaten einen kleineren Funktionswert als das Extrema(ein Minimum) im Inneren haben? Dann ist trotzdem der Kandidat mit dem größeren Funktionswert das Maximum?
Frage 7:
Im Inneren liegt ein Maximum vor. Am Rand wieder zwei Kandidaten. Der Kandidat mit dem kleineren Funktionswert ist dann Minimum, oder?
Danke danke danke :)
Mopsi
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> Frage 1:
> Heißt das, dass f auf K genau ein Maximum und genau ein
> Minimum annimmt?
> Kann man das verallgemeinern?
Nein das hängt von deiner Funktion und deiner Menge / deinem Raum ab.
>
> Denn wenn f nur genau ein Max und ein Min animmt, und ich
> wie in dieser Aufgabe 3 kritische Punkte habe, dann schaue
> ich mir einfach die Funktionswerte an und der kleinste muss
> Minimum sein und der größte Maximum.
1 Punkt ist offensichtlich kein Extremum - es könnte passieren dass f zb einige Extrempunkte hat. In deinem Fall sind es eben 2. Untersuchen musst du dennoch alle kritischen Punkte (diese müssen kein Extremum sein)
>
> Frage 2:
> Was ist wenn f aus 3 veränderlichen besteht und die
> Nebenbedingung auch.
> Nimmt f dann auf K (K ist kompakt) auch genau ein Maximum
> und ein Minimum an?
Versuche es an einem Beispiel ;) die Anzahl der Variablen ändert kaum was an deiner Vorgehensweise zur Bestimmung von Extrema.. es wird halt mit höherer Dimension immer mühsamer.
>
> Frage 3:
> Und GANZ WICHTIG:
> Was ist wenn ich vier verschiedene Punkte finde und alle
> einen verschiedenen Funktionswert haben.
> Wie bestimme ich dann Maxima und Minima? Oder kann das gar
> nicht passieren?
>
Zur Bestimmung ob Min/Max Sattelpunkt gibt es einige Möglichkeiten - wir haben eh schon so gut wie alle besprochen. Das Einsetzen und das Ermitteln von Funktionswerten ist eine Möglichkeit in MANCHEN Fällen.
> Frage 4:
> Was wäre wenn unser f(1,-1) ein Maximum wäre. Hätte ich
> dann trotzdem bei
> [mm]f((-\wurzel{\frac{3}{2}}, +\wurzel{\frac{3}{2}})) = 4\wurzel{\frac{3}{2}}+5[/mm]
> ein Maximum, weil der Funktionswert größer ist als
> [mm]f((\wurzel{\frac{3}{2}}, -\wurzel{\frac{3}{2}})) = -4\wurzel{\frac{3}{2}}+5 [/mm]?
>
Die Frage erübrigt sich weil es bei dir nicht so ist. Hätte f an (1,-1) ein MAx und kein Min. Wäre das Verhalten komplett anders und du kannst i.A. keine Auskunft darüber geben wie es mit anderen Extrempunkten aussehen würde.
> Frage 5:
> Es ist nicht egal, ob ich nun ein Maximum oder ein Minimum
> im Inneren gefunden habe.
> Denn wenn ich ein Minimum im Inneren gefunden habe, und
> zwei Kandidaten am Rand (durch Lagrange) gefunden habe,
> dann ist der mit dem größeren Funktionswert Maximum?
Klar ist der dann ein RANDMAX.
Sehr bildlich gesprochen: Die Funktion ist überall kleiner als an deinem Randpunkt - intuitiv ist dir dann klar dass dort ein MAx sein sollte.
>
> Frage 6:
> Aber was ist, wenn beide Kandidaten einen kleineren
> Funktionswert als das Extrema(ein Minimum) im Inneren
> haben? Dann ist trotzdem der Kandidat mit dem größeren
> Funktionswert das Maximum?
Das solltest du dir selbst überlegen können ;)
>
> Frage 7:
> Im Inneren liegt ein Maximum vor. Am Rand wieder zwei
> Kandidaten. Der Kandidat mit dem kleineren Funktionswert
> ist dann Minimum, oder?
>
Das auch ;)
> Danke danke danke :)
>
> Mopsi
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Mopsi |
Thomas fühl dich virtuell umarmt, du bist der beste! :)
Vielen lieben Dank, nochmal!!! :)
Du hast mir sehr geholfen! :-*
Mopsi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Gerne Gerne =)
Stell nur Fragen wenn dir was unklar ist ;)
lg thomas
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