Maxim. eines Parallelepips < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wie groß ist das maximale Volumen eines rechtwinkligen Parallelepipeds (vulgo:Box), dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen und das in das Ellipsoid (x²/a²) + (y²/b²) + (z²/c²) = 1 eingeschrieben ist? Wie lang sind die Kanten der Box? Verwenden Sie die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren. |
Soweit so gut, da es sich um eine Box handelt gehe ich davon aus, dass ich als zu maximierendes Volumen a*b*c nehmen kann, eine der Restriktionen ist die Gleichung des Ellipsoids, wo ich nicht weiterkomme, ist wie ich die Parallelität der Seiten zu den Achsen in Form von Nebenbedingungen angeben kann. Ein Versuch mit (z.B. b = r1*x + konstante + r2*z) scheiterte.
Kann mir wer weiterhelfen? Wäre super ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
wenn ich nicht irre, müsste deine Lagrange-Funktion heißen:
[mm] $F(x,y,z)=xyz+\lambda*\left(\bruch{x^2}{a^2}+ \bruch{y^2}{b^2}+ \bruch{z^2}{c^2}-1 \right)$
[/mm]
Dann alle 4 partiellen Ableitungen bilden, [mm] \lambda [/mm] sobald wie möglich eliminieren und dann einsetzen.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mo 14.07.2008 | | Autor: | SEcki |
> Soweit so gut, da es sich um eine Box handelt gehe ich
> davon aus, dass ich als zu maximierendes Volumen a*b*c
> nehmen kann, eine der Restriktionen ist die Gleichung des
> Ellipsoids, wo ich nicht weiterkomme, ist wie ich die
> Parallelität der Seiten zu den Achsen in Form von
> Nebenbedingungen angeben kann. Ein Versuch mit (z.B. b =
> r1*x + konstante + r2*z) scheiterte.
> Kann mir wer weiterhelfen? Wäre super ...
Das brauchst du nicht - durch die parallelen Seiten hast du ein wohldefiniertes Volumen an jedem Punkt des Ellipsoid. Du musst (da eine Lösung existiert) [warum?]), lediglich den Gradienten der Funktion für die Gleichung des Ellipsoids mit dem Gradienten für das Volumen als lineare Kombination schreiben: [m]\grad f = \lambda \grad e[/m] (wobei f für das Volumen, e für das Ellipsoid steht), und weiterhin die NB des Ellipsoids berücksichtigen. Kommst du jetzt weiter?
SEcki
|
|
|
|
