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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mo 12.05.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Sei eine reele n x n-MAtrix a [mm] \in \IR ^n^x^n [/mm] und die Abbildung q: [mm] \IR^n \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^t*Ax [/mm] gegeben. (Dabei bezeichnet [mm] x^t [/mm] die transponierten Vektor)
a)Zeigen Sie dass q auf der einheitsspähre s={x [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] ||x||_2 [/mm] = 1} Maximum und Minimum annimmt.
b)Geben Sie im Fall n = 2 Beispiele für A an, so dass die Menge {x [mm] \in \IR^n [/mm] : q(x)=1} kompakt bzw. nicht kompakt ist. |
Hallo,
also ich hab nicht so wirklich ne ahnung wie ich da rangehen soll. ich hab mal so angefangen:
q(x)= [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] q(x)^t [/mm] = [mm] (x_1,x_2,...,x_n)
[/mm]
[mm] ||x||_2 [/mm] = [mm] \wurzel{x_1^2,x_2^2,...,x_n^2} [/mm] = 1
ich weiß das [mm] \IR^n [/mm] kompakt ist
ich hab den satz:
Sei X metrischer Raum, K [mm] \subseteq [/mm] X kompakt und f:K [mm] \to \IR [/mm] stetige reele Funktion [mm] \Rightarrow [/mm] f ist beschränkt und nimmt auf K ein Maximum und ein Minimum an
also ich denke das ich zeigen muss, dass q stetige funktion aus S ist, ich glaub das K mein S ist und S ist eine Telmenge von [mm] \IR^n [/mm] und da [mm] \Ir^n [/mm] kompakt ist, ist auch S kompakt
aber irgendwie hab ich keine ahnung wie ich da weitermachen soll, falls das denn richtig ist.
zu b)
ich hab ein Beispiel:
[mm] (x_1,x_2)\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 [/mm] = q(x)
wie kann ich denn zeigen dass das jetzt kompakt oder halt nicht kompakt ist? ich hab das beisipiel genommen, weil das noch (glaub ich) einfach zu zeigen ist.
wär schön wenn mir hier einer helfen könnte, sonst bin ich echt aufgeschmissen.
lg
Sabrina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
mal ein paar bemerkungen
du meinst hier wohl stets $x$ statt $q(x)$, also
> x= [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]x^t[/mm] = [mm](x_1,x_2,...,x_n)[/mm]
>
> [mm]||x||_2[/mm] = [mm]\wurzel{x_1^2,x_2^2,...,x_n^2}[/mm] = 1
>
> ich weiß das [mm]\IR^n[/mm] kompakt ist
nein, das ist er nicht: ihr hattet bestimmt einen satz, dass eine teilmenge des [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] genau dann kompkt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. und ist [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] beschränkt?
> ich hab den satz:
> Sei X metrischer Raum, K [mm]\subseteq[/mm] X kompakt und f:K [mm]\to \IR[/mm]
> stetige reele Funktion [mm]\Rightarrow[/mm] f ist beschränkt und
> nimmt auf K ein Maximum und ein Minimum an
>
> also ich denke das ich zeigen muss, dass q stetige funktion
> aus S ist, ich glaub das K mein S ist
das ist schonmal eine sehr gute idee...
> und S ist eine
> Telmenge von [mm]\IR^n[/mm] und da [mm]\Ir^n[/mm] kompakt ist, ist auch S
> kompakt
erstens ist der [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] ja nicht kompakt und im allgemeinen sind teilmengen kompakter mengen auch nicht zwingend wieder kompakt. probiere lieber mit dem oben von mir angegeben kriterium direkt zu zeigen, dass $S$ kompakt ist. wenn du das geziegt hast und die stetigkeit von $q$ nachgewiesen hast, kannst du obigen satz anwenden und bist fertig.
> aber irgendwie hab ich keine ahnung wie ich da
> weitermachen soll, falls das denn richtig ist.
>
> zu b)
> ich hab ein Beispiel:
> [mm](x_1,x_2)\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] =
> [mm]x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] = q(x)
> wie kann ich denn zeigen dass das jetzt kompakt oder halt
> nicht kompakt ist? ich hab das beisipiel genommen, weil das
> noch (glaub ich) einfach zu zeigen ist.
das ist eine ganz gute wahl. was hat den der funktionswert von $q(x)$ mit der norm von $x$ zu tuen. wo liegen folglich alle punkte mit $q(x) = 1$.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mo 12.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sabrina!
> Sei eine reele n x n-MAtrix a [mm]\in \IR ^n^x^n[/mm] und die
> Abbildung q: [mm]\IR^n \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto x^t*Ax[/mm] gegeben.
> (Dabei bezeichnet [mm]x^t[/mm] die transponierten Vektor)
> a)Zeigen Sie dass q auf der einheitsspähre [mm]s=\{x \in \IR^n : ||x||_2 = 1\} [/mm]Maximum und Minimum annimmt.
> b)Geben Sie im Fall n = 2 Beispiele für A an, so dass die
> Menge [mm]\{x \in \IR^n : q(x)=1\}[/mm] kompakt bzw. nicht kompakt
> ist.
> Hallo,
>
> also ich hab nicht so wirklich ne ahnung wie ich da
> rangehen soll. ich hab mal so angefangen:
>
> q(x)= [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]q(x)^t[/mm] = [mm](x_1,x_2,...,x_n)[/mm]
>
> [mm]||x||_2[/mm] = [mm]\wurzel{x_1^2,x_2^2,...,x_n^2}[/mm] = 1
>
> ich weiß das [mm]\IR^n[/mm] kompakt ist
Nein, das ist nicht richtig. Der [mm]\IR^n[/mm] ist lokalkompakt, nicht kompakt. Wenn er kompakt wäre, so wäre jede in ganzen [mm]\IR^n[/mm] stetige Funktion beschränkt.
Aber im [mm]\IR^n[/mm] gilt: [mm]K\subseteq \IR^n[/mm] kompakt [mm]\gdw[/mm] K ist abgeschlossen und beschränkt.
>
> ich hab den satz:
> Sei X metrischer Raum, K [mm]\subseteq[/mm] X kompakt und f:K [mm]\to \IR[/mm]
> stetige reele Funktion [mm]\Rightarrow[/mm] f ist beschränkt und
> nimmt auf K ein Maximum und ein Minimum an
>
> also ich denke das ich zeigen muss, dass q stetige funktion
> aus S ist, ich glaub das K mein S ist und S ist eine
> Telmenge von [mm]\IR^n[/mm] und da [mm]\Ir^n[/mm] kompakt ist, ist auch S
> kompakt
Das ist ein guter Ansatz, und S ist auch kompakt, nur deine Begründung stimmt nicht. Du musst zeigen:
a) S ist abgeschlossen und beschränkt, b) q ist stetig.
> aber irgendwie hab ich keine ahnung wie ich da
> weitermachen soll, falls das denn richtig ist.
Schau dir die Definition von q an. Warum ist diese Funktion stetig?
Warum ist S beschränkt? Warum ist S abgeschlossen?
> zu b)
> ich hab ein Beispiel:
> [mm](x_1,x_2)\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] =
> [mm]x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2[/mm] = q(x)
> wie kann ich denn zeigen dass das jetzt kompakt oder halt
> nicht kompakt ist? ich hab das beisipiel genommen, weil das
> noch (glaub ich) einfach zu zeigen ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Diese Menge ist kompakt, das kann ich dir verraten. Wie sieht denn die Menge aller x mit $q(x)=1$ aus? Was hat sie mit der Einheitssphäre im [mm] $\IR^2$ [/mm] zu tun?
Für das Beispiel einer nicht kompakten Menge musst du eine nicht abgeschlossene oder nicht beschränkte Menge suchen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Di 13.05.2008 | | Autor: | skydyke |
hi,
also S ist kompakt, da
beschränkt: es existiert ein [mm] x_0 \in \IR^n [/mm] und r>0 (in meinem fall wird das r > 1 sein) : S [mm] \subseteq B_r(x_0)
[/mm]
abgeschlossen: x kann nur den wert der einheitsvektoren annehmen, damit [mm] ||x_2|| [/mm] = 1 gegeben ist, und das ist ein abgeschlossenes interval.
wäre die begründung richtig?
ich weiß nicht wie man stetigkeit zeigt, und ich habe zu dem noch probleme mit matrizen. wär schön wenn man mir erklären könnte wie ich die stetigkeit von q zeigen könnte.
zu dem beispiel:
x müsste aus dem intervall [-1,1] sein, da ja -1 zu 1 wird da es ein quadrat ist. und dieses intervall ist dann abgeschlossen und beschränkt und daraus folgt dan, das das beispiel kompakt ist. wäre das erst mal so richtig?
lg
sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 13.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo sabrina!
> also S ist kompakt, da
> beschränkt: es existiert ein [mm]x_0 \in \IR^n[/mm] und r>0 (in
> meinem fall wird das r > 1 sein) : S [mm]\subseteq B_r(x_0)[/mm]
> abgeschlossen: x kann nur den wert der einheitsvektoren
> annehmen, damit [mm]||x_2||[/mm] = 1 gegeben ist, und das ist ein
> abgeschlossenes interval.
Die x sind doch Einheitsvektoren doch im [mm] $\IR^n$, [/mm] da kannst du schlecht mit einem abgeschlossenen Intervall argumentieren.
Es gibt mehrere Wege, zu zeigen, dass S abgeschlossen ist. Ein paar Ideen:
- S ist genau dann abgeschlossen, wenn [mm] $\IR^n\backslash [/mm] S$ offen ist. (Tipp: [mm] $\IR^n\backslash [/mm] S$ zerfällt in zwei disjunkte, offene Teilmengen.)
- S ist genau dann abgeschlossen, wenn der Rand [mm] $\partial [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] S $. Für einen Randfpunkt [mm] $x_R\in\partial [/mm] S $ gilt: in jeder Umgebung von [mm] $x_R$ [/mm] liegen sowohl Punkte aus S wie auch Punkte aus [mm] $\IR^n\backslash [/mm] S$. (Tipp: Es ist hier sogar: [mm] $\partial [/mm] S = S $.)
> ich weiß nicht wie man stetigkeit zeigt, und ich habe zu
> dem noch probleme mit matrizen. wär schön wenn man mir
> erklären könnte wie ich die stetigkeit von q zeigen
> könnte.
Schreibe dir doch mal $q(x)$ explizit hin, durch Ausmultiplizieren (vielleicht für n=2, damit's einfacher wird). Ist das eine stetige Funktion?
> zu dem beispiel:
> x müsste aus dem intervall [-1,1] sein, da ja -1 zu 1 wird
> da es ein quadrat ist.
Vorsicht: x ist keine Zahl, sondern [mm] $x\in \IR^2$. [/mm] Es ist in diesem Fall richtig, dass sowohl [mm] $x_1$ [/mm] als auch [mm] $x_2$ [/mm] aus dem kompakten Intervall $[-1,+1]$ sein müssen, damit $q(x)=1$. Das wäre ein Quadrat im [mm] $\IR^2$. [/mm] Das ist aber keine hinreichende Bedingung, denn du musst ja auch noch [mm] $x_1^2+x_2^2=1$ [/mm] erfüllen. Wie sieht denn die Menge der [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] aus, die diese Bedingung erfüllt?
> und dieses intervall ist dann
> abgeschlossen und beschränkt und daraus folgt dan, das das
> beispiel kompakt ist. wäre das erst mal so richtig?
Prinzipiell ja, aber es ist kein Intervall.
Viele Grüße
Rainer
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