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| Aufgabe | Bestimme kritische Punkte, sowie lokale Extrema
1) [mm]f(x,y):= x^2 + y^2 -xy -2x -2y +4 [/mm]
2) [mm]f(x,y):= 3x^2 -2(y+1)x + 3y -1[/mm] (0 < x, y < 1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
partielle Ableitungen sind:
1)
[mm]f_x = 2x-y-2[/mm]
[mm]f_y = 2y-x-2[/mm]
Kritischer Punkt bei (2,2), mir ist auch klar das es ein Minimim ist, stehe nur irgendwie auf der Leitung es zu zeigen.
Mit umformen auf Quadrate bin ich nicht weit gekommen und weitere Ableitungen helfen auch nicht so wirklich
Stecke gerade irgendwie fest, jede Denkanstoss koennte helfen
2)
[mm]f_x = 6x-2(y+1)[/mm]
[mm]f_y = -2x+3[/mm]
kritischer Punkt bei [mm](\bruch{3}{2},\bruch{7}{2})[/mm] liegt allerdings nicht im Definitionsbereich, sonst keine weiteren kritischen Punkte also keine lokalen min oder max
Reicht das? Kommt mir ein wenig kurz vor
Vielen Dank im voraus
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Hallo franziburli,
> Bestimme kritische Punkte, sowie lokale Extrema
> 1) [mm]f(x,y):= x^2 + y^2 -xy -2x -2y +4[/mm]
> 2) [mm]f(x,y):= 3x^2 -2(y+1)x + 3y -1[/mm]
> (0 < x, y < 1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> partielle Ableitungen sind:
>
> 1)
> [mm]f_x = 2x-y-2[/mm]
> [mm]f_y = 2y-x-2[/mm]
> Kritischer Punkt bei (2,2),
> mir ist auch klar das es ein Minimim ist, stehe nur
> irgendwie auf der Leitung es zu zeigen.
> Mit umformen auf Quadrate bin ich nicht weit gekommen und
> weitere Ableitungen helfen auch nicht so wirklich
Betrachte hier die ![[]](/images/popup.gif) Definitheit der Hesse-Matrix an der Stelle (2,2).
> Stecke gerade irgendwie fest, jede Denkanstoss koennte
> helfen
>
> 2)
> [mm]f_x = 6x-2(y+1)[/mm]
> [mm]f_y = -2x+3[/mm]
> kritischer Punkt bei
> [mm](\bruch{3}{2},\bruch{7}{2})[/mm] liegt allerdings nicht im
> Definitionsbereich, sonst keine weiteren kritischen Punkte
> also keine lokalen min oder max
> Reicht das? Kommt mir ein wenig kurz vor
Ja.
>
> Vielen Dank im voraus
Gruss
MathePower
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> > partielle Ableitungen sind:
> >
> > 1)
> > [mm]f_x = 2x-y-2[/mm]
> > [mm]f_y = 2y-x-2[/mm]
> > Kritischer Punkt bei
> (2,2),
> > mir ist auch klar das es ein Minimim ist, stehe nur
> > irgendwie auf der Leitung es zu zeigen.
> > Mit umformen auf Quadrate bin ich nicht weit gekommen
> und
> > weitere Ableitungen helfen auch nicht so wirklich
>
>
> Betrachte hier die
> Definitheit der
> Hesse-Matrix an
> der Stelle (2,2).
>
Die Hesse-Matrix (alle zweiten partiellen Ableitungen sind ja konstant) ist hier doch in jedem Punkt unabhaengig von x,y
Weiss jetzt nicht recht wie mir das weiterhilft
> > 2)
> > [mm]f_x = 6x-2(y+1)[/mm]
> > [mm]f_y = -2x+3[/mm]
> > kritischer Punkt
> bei
> > [mm](\bruch{3}{2},\bruch{7}{2})[/mm] liegt allerdings nicht im
> > Definitionsbereich, sonst keine weiteren kritischen Punkte
> > also keine lokalen min oder max
> > Reicht das? Kommt mir ein wenig kurz vor
>
> Ja.
Kk danke
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Hallo franziburli,
> > > partielle Ableitungen sind:
> > >
> > > 1)
> > > [mm]f_x = 2x-y-2[/mm]
> > > [mm]f_y = 2y-x-2[/mm]
> > > Kritischer
> Punkt bei
> > (2,2),
> > > mir ist auch klar das es ein Minimim ist, stehe nur
> > > irgendwie auf der Leitung es zu zeigen.
> > > Mit umformen auf Quadrate bin ich nicht weit
> gekommen
> > und
> > > weitere Ableitungen helfen auch nicht so wirklich
> >
> >
> > Betrachte hier die
> > Definitheit der
> > Hesse-Matrix an
> > der Stelle (2,2).
> >
> Die Hesse-Matrix (alle zweiten partiellen Ableitungen sind
> ja konstant) ist hier doch in jedem Punkt unabhaengig von
> x,y
> Weiss jetzt nicht recht wie mir das weiterhilft
>
Um die Art des Extremums herauszubekommen,
kannst Du die Eigenwerte der Hesse-Matrix berechnen.
>
> Kk danke
>
Gruss
MathePower
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> Hallo franziburli,
>
> > > > partielle Ableitungen sind:
> > > >
> > > > 1)
> > > > [mm]f_x = 2x-y-2[/mm]
> > > > [mm]f_y = 2y-x-2[/mm]
> > > >
> Kritischer
> > Punkt bei
> > > (2,2),
> > > > mir ist auch klar das es ein Minimim ist, stehe nur
> > > > irgendwie auf der Leitung es zu zeigen.
> > > > Mit umformen auf Quadrate bin ich nicht weit
> > gekommen
> > > und
> > > > weitere Ableitungen helfen auch nicht so wirklich
> > >
> > >
> > > Betrachte hier die
> > > Definitheit der
> > > Hesse-Matrix an
> > > der Stelle (2,2).
> > >
> > Die Hesse-Matrix (alle zweiten partiellen Ableitungen sind
> > ja konstant) ist hier doch in jedem Punkt unabhaengig von
> > x,y
> > Weiss jetzt nicht recht wie mir das weiterhilft
> >
>
>
> Um die Art des Extremums herauszubekommen,
> kannst Du die
> Eigenwerte der
> Hesse-Matrix berechnen.
>
Schon klar, aber die Eigenwerte der Hesse Matrix sind doch vom kritischen Punkt unabhaengig da
[mm]f_{xx} = 2[/mm]
[mm]f_{yy} = 2[/mm]
[mm]f_{xy} = -1[/mm]
Da bringen mir doch die Eigenwerte nichts da sie fuer jeden Punkt gleich sind
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Hallo franziburli,
> >
> > Um die Art des Extremums herauszubekommen,
> > kannst Du die
> > Eigenwerte der
> > Hesse-Matrix berechnen.
> >
>
> Schon klar, aber die Eigenwerte der Hesse Matrix sind doch
> vom kritischen Punkt unabhaengig da
> [mm]f_{xx} = 2[/mm]
> [mm]f_{yy} = 2[/mm]
> [mm]f_{xy} = -1[/mm]
> Da bringen mir doch
> die Eigenwerte nichts da sie fuer jeden Punkt gleich sind
>
Nicht jeder Punkt ist hier ein Kandidat für ein Extremum.
Mit der Hessematrix kannst Du über die Art des Extremums entscheiden,
und zwar unabhängig davon ob diese Matrix konstant ist oder nicht.
Gruss
MathePower
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> Hallo franziburli,
>
> > >
> > > Um die Art des Extremums herauszubekommen,
> > > kannst Du die
> > > Eigenwerte der
> > > Hesse-Matrix berechnen.
> > >
> >
> > Schon klar, aber die Eigenwerte der Hesse Matrix sind doch
> > vom kritischen Punkt unabhaengig da
> > [mm]f_{xx} = 2[/mm]
> > [mm]f_{yy} = 2[/mm]
> > [mm]f_{xy} = -1[/mm]
> > Da bringen
> mir doch
> > die Eigenwerte nichts da sie fuer jeden Punkt gleich sind
> >
>
>
> Nicht jeder Punkt ist hier ein Kandidat für ein Extremum.
>
> Mit der Hessematrix kannst Du über die Art des Extremums
> entscheiden,
> und zwar unabhängig davon ob diese Matrix konstant ist
> oder nicht.
>
>
> Gruss
> MathePower
also ist es ein Minimum weil beide Unterdeterminanten > 0 sind
[mm]
\begin{vmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2
\end{vmatrix}
[/mm]
das sollte dann so passen, richtig?
danke fuer die Erklaerung
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Hallo franziburli,
> also ist es ein Minimum weil beide Unterdeterminanten > 0
> sind
> [mm]\begin{vmatrix} 2 & -1 \\
-1 & 2 \end{vmatrix}[/mm]
> das sollte dann so
> passen, richtig?
Jo, zunächst hast du aber ein lokales Minimum
>
> danke fuer die Erklaerung
Gruß
schachuzipus
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