Max.prinzip für harmonisch Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 09.01.2007 | | Autor: | FrankM |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:B(0,1)->\IR [/mm] harmonisch mit [mm] h(x_0)\ge [/mm] h(x) mit [mm] x_0,x, \in [/mm] B(0,1). Zeige [mm] h\equivh(x_0) [/mm] auf B(0,1), wobei B(0,1) der offene Einheitskreis |
Hallo,
der Standartbeweis für das Prinzip nutzt ja die Mittelwertseigenschaft der harmonischen Fktn. Ich überlege im Moment, ob man auf diesem einfachen (konvexen) Gebiet nicht auch schon mit dem MIttelwertsatz aus der Differentialrechnung auskommt, da gilt
[mm] \Delta [/mm] h =0
[mm] \Rightarrow [/mm] div(grad(h))=0 also grad(h)=konstant auf B und da [mm] grad(h(x_0))=0 [/mm] ist grad(h)=0 auf ganz B. Und mit dem Mittelwertsatz bin ich dann fertig.
Stimmt das oder habe ich etwas übersehen?
Vielen Dank
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Di 09.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Frank,
Du hast übersehen, dass div(grad f)=0 nicht grad(f)=konstant impliziert, falls die Dimension größer oder gleich zwei ist. Ein Gegenbeispiel wäre die Funktion [mm] f(x,y)=x^2-y^2. [/mm]
Volker
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:48 Di 09.01.2007 | | Autor: | FrankM |
Vielen Dank für die Antwort, dass hatte ich übersehen, gibt es denn einen Möglichkeit das Maximumsprinzip ohne die Mittelwerteigenschaft beweisen?
Gruß
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 15.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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