Max. Volumen (Kegel) < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Mach17 |
| Aufgabe | | Welcher unten offene Kegel hat bei gegebener Mantelfläche das größte Volumen? |
Hallo Leute!
Ich bräuchte mal wieder hilfe..
Also bis jetzt bin ich soweit:
Mantelfläche M = pi*r*s (r=radius, s=diese schräge seite)
Volumen V = [mm] 1/3*pi*r^2*h
[/mm]
Das sind meine beiden Bedingungen. Erstmal hab ich dann versucht, das "s" wegzubekommen:
[mm] s^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] + [mm] h^2 [/mm] (Pythagoras)
s = [mm] sqrt(r^2+h^2)
[/mm]
Also
M = [mm] pi*r*sqrt(r^2+h^2)
[/mm]
Dann habe ich den Term umgestellt nach h:
h = [mm] sqrt((M^2/pi^2*r^2)-(4/r))
[/mm]
Meine Formel fürs Volumen ist dann:
V = [mm] 1/3*pi*r^2*sqrt((M^2/pi^2*r^2)-(4/r))
[/mm]
Und jetzt komme ich nicht mehr weiter, meine Fragen:
1.Ist das bis hierhin überhaupt richtig?
2.Wenn ja, weiss ich nicht, wie ich die funktion ableiten soll :-(
Danke schonmal für jeder hilfe.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 18.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo Mach17,
bis zum Aufstellen der Mantelfläche ist alles richtig.
> M = [mm]pi*r*sqrt(r^2+h^2)[/mm]
stimmt auch noch. Bei der Umformung nach h ist aber irgendwas schief gelaufen.
> h = [mm]sqrt((M^2/pi^2*r^2)-(4/r))[/mm]
stimmt nicht mehr. richtig wäre hier:
[mm] h=\wurzel{\bruch{m^{2}}{\pi^{2}\*r^{2}}-r^{2}}= \bruch{\wurzel{m^{2}-\pi^{2}r^{4}}}{\pi\*r}
[/mm]
> Meine Formel fürs Volumen ist dann:
> V = [mm]1/3*pi*r^2*sqrt((M^2/pi^2*r^2)-(4/r))[/mm]
Diese ist dann natürlich auch falsch, aber durch Einsetzen kommst du ja leicht an die Richtige.
Zu den Ableitungen: Zunächst vereinfache dir den Term so weit wie möglich (kürzen!) und dann leitest du "einfach" nach r ab (Kettenregel und Produktregel beachten!)
Hoffe das hilft die weiter, schönen Abend noch
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Mach17 |
Hallo,
danke schonmal für deine Hilfe!
In dem Term, wo du nach h umstellst, habe ich den ersten Schritt verstanden, der 2. ist mir aber nicht ganz klar (wieso kommt im Nenner nur noch pi*r hin, und nicht [mm] pi^2*r^2 [/mm] ?).
Ich mach mich mal ans Werk, die Funktion abzuleiten..
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Nunja, schau mal genau hin! Er hat erst das r² erweitert (mit dem linken Bruch auf einen Nenner gebracht), und das zusammen gefaßt. Danach hat er die Wurzel im Nenner gezogen - Fazit: Da bleibt nur noch die Wurzel im Zähler übrig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Mach17 |
Ach stimmt ja, das hatte ich ganz übersehen.
Danke
Bis jetzt sieht meine Funktion so aus:
V(r) = [mm] 1/3*r*SQRT(m^3-pi^2*r^4)
[/mm]
hm..
Ich bin nich so ganz fit was Wurzeln angeht :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 18.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh da keine Frage mehr, aber noch ein Tip: wenn f(x) einen Extremwert hat, hat [mm] f^2 [/mm] an derselben Stelle nen Extremwert. also spart man sich das Wurzel differenzieren!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Mach17 |
Genau den Tipp hab ich gebraucht, um die Aufgabe fertig zu rechnen 
Danke!
Schönen Abend noch
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