Max. Norm auf C[a,b] < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 So 18.03.2012 | | Autor: | B-Ball |
| Aufgabe | | Warum ist die Maximusnorm auf C[a,b], dem Raum der stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b], gleich der Supremumsnorm? |
Also meine Idee ist folgende:
das Intervall [a,b] ist ja beschränkt und abgeschlossen, also foglich kompakt!
Da [mm]f\in C\left[a,b\right][/mm] ist f foglich stetig auf [a,b].
Für stetige funktionen auf kompakten intervallen gilt der satz vom extremum, dh f nimmt auf [a,b] Maximum und Minimum an, d.h
Es gibt [mm]x_{max}\;und\;x_{min}\in [a,b][/mm] mit [mm]f(x_{max})=sup_{x\in [a,b]}f(x)\; und\; f(x_{min})=inf_{x\in [a,b]}f(x)[/mm]
[mm]\Rightarrow\ ||f||_{\infty} = max_{x\in [a,b]} |f(x)| = |f(x_{max})| = sup_{x\in[a,b]} |f(x)|[/mm]
woraus dann ja die behauptung folgen würde...
ist das so richtig??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 18.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo B-Ball
richtig!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 So 18.03.2012 | | Autor: | B-Ball |
Juhuuu... Danke!
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