Max. Element ortho. Teilmengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 14.12.2004 | | Autor: | Junx |
Hi,
ich hab hier eine Aufgabe bei der ich nicht so recht weiterkomme.
Vielleicht kann mir ja jemand einen kleinen Hinweis geben.
Eine Teilmenge T eines euklidischen Raumes V heißt orthogonal ,
falls ihre Elemente verschieden von 0 und paarweise orthogonal sind. Zeige, dass T linear unabhängig ist und dass die bezüglich Inklusion partiell geordnete Menge aller orthogonalen Teilmengen von V mindestens ein maximales Element hat. Sind diese immer Basen von V?
Also die lineare Unabhängigkeit leuchtet mir ja ein, aber ich hab irgendwie keine Idee, wie ich das zeigen soll.
Junx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Sind [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] beliebig aus $T$ gewählt mit
$0 = [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_{i-1}v_{i-1} [/mm] + [mm] \lambda_i v_i [/mm] + [mm] \lambda_{i+1}v_{i+1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n v_n$,
[/mm]
so folgt:
[mm] $\lambda_i \langle v_i,v_i \rangle [/mm] = [mm] \lambda_1 \langle v_1,v_i \rangle [/mm] + [mm] \ldots \lambda_{i-1} \langle v_{i-1}, v_i \rangle [/mm] + [mm] \lambda_i \langle v_i,v_i \rangle [/mm] + [mm] \lambda_{i+1} \langle v_{i+1}, v_i \rangle [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n \langle v_n,v_i \rangle [/mm] = [mm] \langle \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_{i-1}v_{i-1} [/mm] + [mm] \lambda_i v_i [/mm] + [mm] \lambda_{i+1}v_{i+1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n v_n, v_i \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] 0, [mm] v_i \rangle [/mm] = 0$,
also:
[mm] $\lambda_i \langle v_i,v_i \rangle [/mm] = 0$
und daher
[mm] $\lambda_i=0$
[/mm]
wegen
[mm] $v_i \ne [/mm] 0$, also auch: [mm] $\langle v_i,v_i \rangle \ne [/mm] 0$.
Zur anderen Frage: Betrachte doch einfach die Vereinigungsmenge der partiell geordneten Menge aller orthogonalen Teilmengen von $V$. Diese ist wieder linear unabhängig.
Ob sie dann auch notwendig ein Basis ist? Dazu müsste man wissen, ob es in jedem euklidischen Raum eine Orthogonalbasis gibt. Dann wäre diese ja in dem maximalen Element enthalten. Im Falle einer existierenden abzählbaren (oder endlichen) Basis ist das auf jeden Fall so.
Viele Grüße
Julius
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