Max-Likelihood-Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm]X_1,\ldots,X_n[/mm] stochastisch unabhänigge und identisch verteilte Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm]. Weiter besitze [mm]X_i[/mm] für [mm]i \leq i \leq n[/mm] die Riemann-Dichte
[mm]f_{\lambda}(x) \;=\; e^{-\frac{x}{y}-\ln(\lambda)}, \quad x > 0[/mm]
wobei [mm]\lambda > 0[/mm] ein unbekannter Parameter sei.
Beweisen oder widerlegen sie folgende Aussagen:
(1) Die log-Likelihoodfunktion [mm]l[/mm] ist gegeben durch [mm]l(\lambda) = -n(\frac{\overline{x}}{\lambda}+\ln(\lambda))[/mm] für [mm]\lambda > 0[/mm]
(2) Der Maximum-Likelihood-Schätzer [mm]\hat{\lambda}[/mm] für [mm]\lambda[/mm] ist gegeben durch [mm]\lambda = \frac{1}{\overline{X}}[/mm].
(3) Der Maximum-Likelihood-Schätzer [mm]\hat{\lambda}[/mm] für [mm]\lambda[/mm] ist erwartungstreu für [mm]\lambda[/mm].
(4) Für den Maximum-Likelihood-Schätzer [mm]\hat{\lambda}[/mm] für [mm]\lambda[/mm] gilt [mm]l''(\hat{\lambda}) > 0[/mm].
(5) Es gilt [mm]X_1 \sim Exp(\frac{1}{\lambda}[/mm] |
(1) ist richtig, denn
[mm]l(\lambda) = \sum_{i=1}^{n}{\ln(e^{-\frac{x_i}{\lambda}-\ln(\lambda)}} = n \cdot (-\frac{\overline{x}}{\lambda}-\ln(\lambda)) = -n \cdot (\frac{\overline{x}}{\lambda}+\ln(\lambda))[/mm]
(2) ist falsch, denn
[mm]l'(\lambda) = (-n \cdot (\frac{\overline{x}}{\lambda}+\ln(\lambda)))' = (-n\frac{\overline{x}}{\lambda})' - (n\cdot\ln(\lambda))' \overset{!}{=} 0 [/mm]
Das ist äquivalent zu
[mm]\frac{n\overline{x}}{\lambda^2} - \frac{n}{\lambda} = 0[/mm]
[mm]\Rightarrow \frac{n\overline{x}}{\lambda^2} = \frac{n}{\lambda}[/mm]
[mm]\Rightarrow n\overline{x} = n\lambda[/mm]
Also
[mm]\hat{\lambda} = \overline{x} \neq \frac{1}{\overline{x}}[/mm]
(3) Hier komme ich nicht weiter. Ich würde jetzt eigentlich den (richtige) ML-Schätzer in [mm]l(\lambda)[/mm] einsetzen d.h.
[mm]\ln(\overline{x}) = -n(\frac{\overline{x}}{\overline{x}} + \ln(\overline{x}) = -n(1 + \ln(\overline{x}) \overset{!}{=} \overline{x}[/mm]
Bei erwartungstreue liefert der Schätzer eingesetzt in die Funktion den Erwartungswert oder den geschätzen Erwartungswert(?) der Verteilung. aber iwie klappt das hier nicht.
(4) ist falsch, denn Es ist [mm]l''(\lambda) = (\frac{n\overline{x}}{\lambda^2})' - (\frac{n}{\lambda})' = \frac{-2n\overline{x}}{\lambda^3} + \frac{n}{\lambda^2}[/mm]
Und somit ist
[mm]l''(\hat{\lambda}) = l''(\overline{x}) = \frac{-2n\overline{x}}{\overline{x}^3} + \frac{n}{\overline{x}^2} = \frac{-n}{\overline{x}^2} < 0[/mm]
(5) ist richtig, einfach in die standardformel statt [mm]\lambda[/mm], [mm]\frac{1}{\lambda}[/mm] einsetzen.
Also neben einem kurzen blick auf 1,2,4,5 solltet ihr mir bei der 3 helfen. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 19.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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