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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Fr 18.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und A = [mm] (a_{ij}) \in [/mm] M (n x n, K] mit
[mm] a_{ij}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } j= i-1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie [mm] A^k [/mm] = A*A*....*A für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n.
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Moin,
also zunächst habe ich mal ein paar Elemente gebildet.
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 } [/mm]
[mm] A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] A_4 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Wenn ich nun
[mm] A_1 [/mm] ist bereits X = [mm] \pmat{ 0 }
[/mm]
[mm] A_2 [/mm] * [mm] A_2 [/mm] bilde, erhalte ich X = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] A_3 [/mm] * [mm] A_3 [/mm] bilde und das Ergebnis noch einmal * [mm] A_3 [/mm] nehme, erhalte ich
X = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
und wenn ich [mm] A_4^4 [/mm] bilde, erhalte ich X = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hieraus würde ich folgern, dass [mm] A^n [/mm] immer die Nullmatrix ergibt...
Ist das so richtig? Wie kann ich das allgemein zeigen? Jemand dazu Ideen...?
Vielen Dank!
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Merle23 |
Schreib die Matrix mit dem Kronecker-Symbol auf, also A = [mm] (a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{ij} [/mm] = [mm] \delta_{i-1,j}.
[/mm]
Sei B eine beliebige Matrix mit B = [mm] (b_{ij})_{i,j=1..n} [/mm] .
Nun das Matrizenprodukt ausschreiben: BA = [mm] (c_{ij}) [/mm] mit [mm] c_{ij} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} b_{ik}a_{kj} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} b_{ik}\delta_{k-1,j} [/mm] = [mm] b_{i,j+1}, [/mm] d.h. die Multiplikation von Rechts mit A "verschiebt" alle Spalten um eins nach Links.
Der Rest des Beweises ist klar.
(Ich hoffe ich hab nicht irgendwo mit den ganzen Indizes vertan ^^)
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