Matrizengleichung umformen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Mi 25.09.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Löse die Gleichung nach X auf.
AX - A = [mm] A^2 [/mm] - X
Anmerkung E = Einheitsmatrix.
Auch wenn dies nicht in der Aufgabe stand, soll sicher gelten: (A + E) ist invertierbar. |
Moin,
ich habe eine Frage zu der Umformung...
1. Schritt
AX - A = [mm] A^2 [/mm] - X | +X + A
AX + X = [mm] A^2 [/mm] + A
2. Schritt
X*(A + E) = A*(A + E)
3. Schritt
X*(A + E) = A*(A + E) | *(A + [mm] E)^{-1}
[/mm]
X*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm] = A*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1}
[/mm]
X = A.
Wenn ich nun aber so umforme, also nicht darauf komme, dass ich auf der rechten Seite A ausklammern kann...komme ich dann zur Lösung?
2. Schritt
X*(A + E) = [mm] A^2 [/mm] + A | *(A + [mm] E)^{-1} [/mm]
X*(A + E)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm] = [mm] (A^2 [/mm] + A)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]
X = [mm] (A^2 [/mm] + A)*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]
X = [mm] A^2*(A [/mm] + [mm] E)^{-1} [/mm] + A*(A + [mm] E)^{-1} [/mm]
???
Danke & Gruß!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Mi 25.09.2019 | | Autor: | statler |
Hallo,
ich fange mal ganz vorne mit der Kritik an:
Die Mehrzahl von Matrix ist Matrizen.
> Löse die Gleichung nach X auf.
>
> AX - A = [mm]A^2[/mm] - X
>
>
> Anmerkung E = Einheitsmatrix.
> Moin,
>
> ich habe eine Frage zu der Umformung...
>
> 1. Schritt
> AX - A = [mm]A^2[/mm] - X | +X + A
>
> AX + X = [mm]A^2[/mm] + A
>
>
> 2. Schritt
>
> X*(A + E) = A*(A + E)
Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, mußt du auf der linken Seite der Gleichung nach rechts ausklammern, auf der rechten Seite ist es egal:
(A + E) [mm] \cdot [/mm] X = A [mm] \cdot [/mm] (A + E) = (A + E) [mm] \cdot [/mm] A
> 3. Schritt
>
> X*(A + E) = A*(A + E) | *(A + [mm]E)^{-1}[/mm]
Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das steht nirgends.
> X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm] = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]
Wenn es invertierbar ist, dann folgt
X = A.
> Wenn ich nun aber so umforme, also nicht darauf komme, dass
> ich auf der rechten Seite A ausklammern kann...komme ich
> dann zur Lösung?
Das ist ja formal eine in X lineare Gleichung, und die löst man eben durch Sortieren, Ausklammern und Teilen, das ist sozusagen handwerkliches Wissen ohne Geistesblitze.
Um den hier verdrängten Fall mit A + E singulär zu beleuchten, kannst du dir ja mal ein einfaches Beispiel dazu mit (2x2-Matrizen) überlegen.
Es gibt dann auch noch so Wunderdinge wie Pseudo-Inverse.
Gruß aus HH
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Do 26.09.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin
> Hallo,
> ich fange mal ganz vorne mit der Kritik an:
> Die Mehrzahl von Matrix ist Matrizen.
Danke für den Hinweis -> korrigiert. ^^
1. Schritt "Sortieren", d.h. alle Summanden mit X auf die eine Seite, alle Summanden ohne X auf die andere Seite
AX - A = [mm]A^2[/mm] - X | +X + A
AX + X = [mm]A^2[/mm] + A
2. Schritt Ausklammern
> Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, mußt
> du auf der linken Seite der Gleichung nach rechts
> ausklammern, auf der rechten Seite ist es egal:
>
> (A + E) [mm]\cdot[/mm] X = A [mm]\cdot[/mm] (A + E) = (A + E) [mm]\cdot[/mm] A
(A + E)*X = (A + E)*A
3. Schritt
(A + E)*X = (A + E)*A | *(A + [mm]E)^{-1}[/mm] von links
> Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das
> steht nirgends.
Richtig, diese Information stand nirgends, soll m.E. aber implizit gelten. -> ergänzt. ^^
(A + [mm] E)^{-1}*(A [/mm] + E)*X = (A + [mm] E)^{-1}*(A [/mm] + E)*A
> Wenn es invertierbar ist, dann folgt
X = A.
> Das ist ja formal eine in X lineare Gleichung, und die
> löst man eben durch Sortieren, Ausklammern und Teilen, das
> ist sozusagen handwerkliches Wissen ohne Geistesblitze.
Alles klar!
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> 3. Schritt
>
> (A + E)*X = (A + E)*A | *(A + [mm]E)^{-1}[/mm] von links machst du dann aber gar nicht!
>
> > Und hier kommt das Kernproblem: Ist A + E invertierbar? Das
> > steht nirgends.
>
> Richtig, diese Information stand nirgends, soll m.E. aber
> implizit gelten. -> ergänzt. ^^
>
>
> X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm] = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Do 26.09.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> > 3. Schritt
> >
> > (A + E)*X = (A + E)*A | *(A + [mm]E)^{-1}[/mm] von links machst
> du dann aber gar nicht!
> >
> >
> > X*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm] = A*(A + E)*(A + [mm]E)^{-1}[/mm]
> >
Ich hoffe, so ist es besser... ^^
(A + $ [mm] E)^{-1}\cdot{}(A [/mm] $ + E)*X = (A + $ [mm] E)^{-1}\cdot{}(A [/mm] $ + E)*A
X = A
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Ja, das ist okay.
Bei dieser Aufgabe kommt auch bei falschem Vorgehen das Richtige heraus, aber das ist nur ausnahmsweise der Fall. Grundsätzlich gilt das Kommutativgesetz für [mm] A*A^{-1}=A^{-1}*A [/mm] sowie A*E=E*A und sonst nur für "Spezialfälle" wie bei deinem Problem.
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