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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Ahrion |
| Aufgabe | Es handelt dich hierbei um eine selbst gestelle Aufgabe.
Ich habe ein System aus vier Punkten welche über drei Federn miteinander verbunden sind (Reihenschaltung).
Die Federn haben die Steifigkeit [mm] $k_1=4$, $k_2=2$ [/mm] und [mm] $k_3=4$.
[/mm]
Die Steifigkeits-Matrix des Systems habe ich wie folgt aufgestellt.
[mm] \begin{equation}
K =
\begin{bmatrix}
4 & -4 & 0 & 0 \\
-4 & 6 & -2 & 0 \\
0 & -2 & 6 & -4 \\
0 & 0 & -4 & 4
\end{bmatrix}
\end{equation}
[/mm]
Nun habe ich folgende zwei Randbedingungen:
- Der Punkt [mm] $P_1$ [/mm] bewegt sich nicht [mm] ($u_1 [/mm] = 0$) und
- der Punkt [mm] $P_4$ [/mm] ist um 8 verschoben [mm] ($u_4 [/mm] = 8$).
- Ansonsten gibt es keine weiteren angreifende Kräfte |
Allgemein gilt ja
[mm] \begin{equation}
\left[ K \right] \cdot \lbrace u \rbrace = \lbrace F \rbrace
\end{equation}
[/mm]
Aus den Randbedingungen ist der Verschiebungsvektor
[mm] \begin{equation}
\lbrace u \rbrace =
\begin{bmatrix}
0 \\
u_2 \\
u_3 \\
8
\end{bmatrix}
\end{equation}
[/mm]
und der Kraftvektor
[mm] \begin{equation}
\lbrace F \rbrace =
\begin{bmatrix}
F_1 \\
0 \\
0 \\
F_4
\end{bmatrix}
\end{equation}
[/mm]
Wenn ich das alles zusammenschreibe ergibt sich
[mm] \begin{equation}
\begin{bmatrix}
4 & -4 & 0 & 0 \\
-4 & 6 & -2 & 0 \\
0 & -2 & 6 & -4 \\
0 & 0 & -4 & 4
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{Bmatrix}
0 \\
u_2 \\
u_3 \\
8
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
F_1 \\
0 \\
0 \\
F_4
\end{Bmatrix}
\end{equation}
[/mm]
Soviel zu meinem bisherigen Vorgehen.
Ich denke bis zu diesem Zeitpunkt alles richtig gemacht zu haben.
Nun möchte ich gerne die unbekannten [mm] $u_2$, $u_3$, $F_1$ [/mm] und [mm] $F_4$ [/mm] ausrechnen.
Leider habe ich keine Ahnung wie ich das nur anhand des aufgestellten Gleichungssystems lösen kann.
Eigentlich sollte es gehen, da es vier Gleichungen mit 4 unbekannten sind.
Über ein Ersatzmodell und etwas logischem Nachdenken habe ich zwar die Lösung gefunden:
[mm] \begin{equation}
\begin{bmatrix}
4 & -4 & 0 & 0 \\
-4 & 6 & -2 & 0 \\
0 & -2 & 6 & -4 \\
0 & 0 & -4 & 4
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{Bmatrix}
0 \\
2 \\
6 \\
8
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
-8 \\
0 \\
0 \\
8
\end{Bmatrix}
\end{equation}
[/mm]
Leider hilft mir das nicht wirklich weiter.
Schließlich möchte ich das später mal für komplexere Fragestellungen anwenden, bei dem logisches Nachdenken nicht mehr möglich ist.
Bin für jeden Denkanstoß dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Fr 22.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
$ [mm] \begin{equation} \begin{bmatrix} 4 & -4 & 0 & 0 \\ -4 & 6 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{Bmatrix} 0 \\ u_2 \\ u_3 \\ 8 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} F_1 \\ 0 \\ 0 \\ F_4 \end{Bmatrix} \end{equation} [/mm] $
führt doch zum Gleichungssystem:
[mm] \vmat{-4u_{2}=F_{1}\\6u_{2}-2u_{3}=0\\-2u_{2}+6u_{3}=0\\-4u_{3}-32=F_{4}}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\vmat{4u_{2}+F_{1}=0\\3u_{2}-u_{3}=0\\u_{2}-3u_{3}=0\\-4u_{3}-F_{4}=32}
[/mm]
Dieses Gleichungssystem kannst du nun lösen, der  Gauß-Algorithmus ist vielleicht nicht das eleganteste Verfahren, funktioniert aber (fast) immer.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Ahrion |
Vielen Dank, das sollte mir jetzt weiter helfen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank, das sollte mir jetzt weiter helfen.
Wenn nicht, melde dich nochmal.
Marius
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