Matrizengleichung lösen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktionen: [mm]g = \pmat{ x_1\\ x_2 \\ x_3 } = \pmat{ 5*x_1\\ x_2+2*x_3 \\ x_2 + 4 * x_3 }[/mm] [mm]f= \pmat{ y_1\\ y_2 \\ y_3 } = \pmat{ 3*y_1 + 6 * y_2 - 3*y_3 \\ y_2 - y_3}[/mm]
a) Stellen Sie beide Funktionen durch Matrizen dar.
b) Welche Matrix stellt die Funktion [mm]f*g[/mm] dar?
c) Lösen Sie die Gleichung [mm]f(g(x)) = 0[/mm]
d) Man hat berechnet [mm]f(g(x_0)) = z_0[/mm]. Geben Sie mit Hilfe von c) alle
Lösungen der Gleichung [mm]f(g(x)) = z_0[/mm]. |
<br>
a) Ist schnell gelöst/eingesetzt
[mm]g= \pmat{ 5 & 0 &0 \\ 0 & 1&2 \\ 0&1&4 } [/mm] [mm]f= \pmat{ 3 & 6 & -3 \\ 0 & 1 & -1} [/mm]
b) Hier weiß ich nicht wie ich meinen Lösungsweg gescheit darstellen soll. Ich habe leider den Namen von der Technik vergessen...
Als Ergebniss habe ich aber rausbekommen:
[mm]\pmat{15 & 3 & 0\\0 & 0 & -2}[/mm]
c) Hier kann ich das Ergebniss von b) benutzen um es gleichzusetzen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da fehlt noch etwas... Wird gleich nachgetragen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mi 05.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktionen: [mm]g = \pmat{ x_1\\ x_2 \\ x_3 } = \pmat{ 5*x_1\\ x_2+2*x_3 \\ x_2 + 4 * x_3 }[/mm]
> [mm]f= \pmat{ y_1\\ y_2 \\ y_3 } = \pmat{ 3*y_1 + 6 * y_2 - 3*y_3 \\ y_2 - y_3}[/mm]
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> a) Stellen Sie beide Funktionen durch Matrizen dar.
> b) Welche Matrix stellt die Funktion [mm]f*g[/mm] dar?
> c) Lösen Sie die Gleichung [mm]f(g(x)) = 0[/mm]
> d) Man hat
> berechnet [mm]f(g(x_0)) = z_0[/mm]. Geben Sie mit Hilfe von c)
> alle
> Lösungen der Gleichung [mm]f(g(x)) = z_0[/mm].
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> a) Ist schnell gelöst/eingesetzt
>
> [mm]g= \pmat{ 5 & 0 &0 \\ 0 & 1&2 \\ 0&1&4 } [/mm]
> [mm]f= \pmat{ 3 & 6 & -3 \\ 0 & 1 & -1}[/mm]
Das ist O.K.
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> b) Hier weiß ich nicht wie ich meinen Lösungsweg gescheit
> darstellen soll. Ich habe leider den Namen von der
> Technik vergessen...
>
> Als Ergebniss habe ich aber rausbekommen:
>
> [mm]\pmat{15 & 3 & 0\\0 & 0 & -2}[/mm]
Stimmt doch. Matrizenmultiplikation heißt die "Technik"
FRED
> c) Hier kann ich
> das Ergebniss von b) benutzen um es gleichzusetzen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Da fehlt noch etwas... Wird gleich nachgetragen.
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Danke für das Kontrollieren. Jetzt kommen wir zu dem Teil an dem ich nicht weiterkomme.
c)
[mm]x_1* \pmat{ 15 \\ 0 } + x_2* \pmat{ 3 \\ 0 } + x_3* \pmat{ 0 \\ -2 } = 0[/mm]
[mm]x_3[/mm] kann nur [mm]x_3 = 0[/mm] sein. Ich muss mich eigentlich nur auf [mm]x_1 * 15 + x_2 * 3 = 0[/mm] konzentrieren, oder?
Somit wäre [mm]x_1 = 4/8[/mm] und [mm]x_2 = -4[/mm] Den Rechenweg spare ich mir mal.
Eingesetzt: [mm] \frac{4}{8} * \pmat{15\\0} + -4 * \pmat{3\\0} + 0 * \pmat{0\\-2} = 0[/mm] müsste also stimmen.
d) Hier komme ich nicht weiter.
Kann mir jemand einen Anstoß geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mi 05.06.2013 | | Autor: | fred97 |
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> Danke für das Kontrollieren. Jetzt kommen wir zu dem Teil
> an dem ich nicht weiterkomme.
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> c)
> [mm]x_1* \pmat{ 15 \\ 0 } + x_2* \pmat{ 3 \\ 0 } + x_3* \pmat{ 0 \\ -2 } = 0[/mm]
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> [mm]x_3[/mm] kann nur [mm]x_3 = 0[/mm] sein. Ich muss mich eigentlich nur
> auf [mm]x_1 * 15 + x_2 * 3 = 0[/mm] konzentrieren, oder?
ja
>
> Somit wäre [mm]x_1 = 4/8[/mm] und [mm]x_2 = -4[/mm]
Wie kommst Du denn darauf ????
> Den
> Rechenweg spare ich mir mal.
Der täte mich aber ganz arg interessieren .....
>
> Eingesetzt: [mm] \frac{4}{8} * \pmat{15\\0} + -4 * \pmat{3\\0} + 0 * \pmat{0\\-2} = 0[/mm]
> müsste also stimmen.
Tuts aber nicht !
Die Gl. [mm]x_1 * 15 + x_2 * 3 = 0[/mm] hat unendlich viele Lösungen !
FRED
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> d) Hier komme ich nicht weiter.
> Kann mir jemand einen Anstoß geben?
>
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Oh, das sehe ich jetzt gerade auch. Das kann nicht stimmen.
Bin jetzt aber auch sehr verwirrt. Wie muss ich vorgehen?
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Hallo Redenwirmaldarueber,
> Oh, das sehe ich jetzt gerade auch. Das kann nicht
> stimmen.
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> Bin jetzt aber auch sehr verwirrt. Wie muss ich vorgehen?
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Es ist doch zu lösen [mm]f(g(x))=0[/mm], also (stumpf einsetzen)
[mm]f\left(\vektor{5x_1\\x_2+2x_3\\x_2+4x_3}\right)=\vektor{0\\0}[/mm]
[mm]\gdw \vektor{3(5x_1)+6(x_2+2x_3)-3(x_2+4x_3)\\x_2+2x_3-(x_2+4x_3)}=\vektor{0\\0}[/mm]
Jetzt aber ;)
Gruß
schachuzipus
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Es tut mir leid aber ich kapiere es nicht.
> Es ist doch zu lösen [mm]f(g(x))=0[/mm], also (stumpf einsetzen)
>
> [mm]f\left(\vektor{5x_1\\x_2+2x_3\\x_2+4x_3}\right)=\vektor{0\\0}[/mm]
>
> [mm]\gdw \vektor{3(5x_1)+6(x_2+2x_3)-3(x_2+4x_3)\\x_2+2x_3-(x_2+4x_3)}=\vektor{0\\0}[/mm]
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[mm]\gdw \vektor{15x_1 +3x_2\\ 0 }=\vektor{0\\0}[/mm] aber wie gehts da weiter? Tut mir leid ich stehe da echt auf dem Schlauch.
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> > Es ist doch zu lösen [mm]f(g(x))=0[/mm], also (stumpf einsetzen)
> >
> >
> [mm]f\left(\vektor{5x_1\\x_2+2x_3\\x_2+4x_3}\right)=\vektor{0\\0}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \vektor{3(5x_1)+6(x_2+2x_3)-3(x_2+4x_3)\\x_2+2x_3-(x_2+4x_3)}=\vektor{0\\0}[/mm]
>
> >
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> [mm]\gdw \vektor{15x_1 +3x_2\\ 0 }=\vektor{0\\0}[/mm]
Hallo,
diese Äquivalenz stimmt doch nicht!
Es folgt
[mm] 15x_1+3x_2=0
[/mm]
[mm] -2x_3=0.
[/mm]
Aus der 2.Gleichung erfährst Du, was [mm] x_3 [/mm] sein muß, nämlich [mm] x_3=0
[/mm]
Die erste Gleichung ist gleichbedeutend mit
[mm] x_2=-5x_1.
[/mm]
Das bedeutet: wie auch immer Du [mm] x_1 [/mm] wählst, bekommst Du eine Lösung, wenn Du Dein [mm] x_2 [/mm] so organisierst, daß [mm] x_2=-5x_1.
[/mm]
Mit
[mm] x_1=t [/mm] für [mm] t\in \IR [/mm] bekommst Du also
[mm] x_2=-5t
[/mm]
[mm] x_3=0.
[/mm]
Alle Lösungen haben die Gestalt [mm] \vektor{x_1x\\_2\\x_3}=\vektor{t\\-5t\\0}=t*\vektor{1\\-5\\0},\qquad t\in\IR.
[/mm]
Übrigens: Du hattest doch bereits herausgefunden, daß f(g(x))= $ [mm] \pmat{15 & 3 & 0\\0 & 0 & -2} [/mm] $*x.
Zu lösen ist also
[mm] \pmat{15 & 3 & 0\\0 & 0 & -2}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0},
[/mm]
was der Bestimmung des Kerns von [mm] \pmat{15 & 3 & 0\\0 & 0 & -2} [/mm] entspricht.
LG Angela
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Dankeschön.
Manchmal steht man echt auf dem Schlauch.
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