Matrizengleichung auflösen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich habe ein kleines Problem und zwar bei folgender Gleichung.
-2 [mm] \summe_{i=1}^{N} {(y_{i} - X_{i}w^{T})X_{i}} [/mm] = 0
Diese kann man ja vereinfachen zu (y - [mm] Xw^{T})X [/mm] = 0 wenn man y als Splatenvektor, w als Zeilenvektor und X als Matrix schreibt.
Aufgelöst sollte das nun w = [mm] (X^{T}X)^{-1}X^{T}y [/mm] geben.
Ich sehe da aber nicht wie man auf diese Lösung kommt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 So 06.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo
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> Ich habe ein kleines Problem und zwar bei folgender
> Gleichung.
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> -2 [mm]\summe_{i=1}^{N} {(y_{i} - X_{i}w^{T})X_{i}}[/mm] = 0
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> Diese kann man ja vereinfachen zu (y - [mm]Xw^{T})X[/mm] = 0 wenn
> man y als Splatenvektor, w als Zeilenvektor und X als
> Matrix schreibt.
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> Aufgelöst sollte das nun w = [mm](X^{T}X)^{-1}X^{T}y[/mm] geben.
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> Ich sehe da aber nicht wie man auf diese Lösung kommt.
Du hast also:
[mm] $\left(\vec{y}-X\cdot\vec{\omega}^{T}\right)\cdot X^{-1}=\vec{0}$
[/mm]
Distributivgesetz der Matrizenrechnung
[mm] $\vec{y}\cdot X^{-1}-X\cdot\vec{\omega}^{T}\cdot X^{-1}=\vec{0}$
[/mm]
Auf beiden Seiten [mm] +X\cdot\vec{\omega}^{T}\cdot X^{-1}
[/mm]
[mm] $\vec{y}\cdot X^{-1}=X\cdot\vec{\omega}^{T}\cdot X^{-1}$
[/mm]
Nun multipliziere beide Seiten vor rechts mit X, dann von links mit [mm] X^{-1}
[/mm]
Danach transponiere beide Seiten.
Marius
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Irgendwas geht da nicht auf. Du hast da ein [mm] X^{-1} [/mm] anstelle eines X reingeschmuggelt. ;)
(y - [mm] Xw^{T})X [/mm] = 0 anstelle von (y - [mm] Xw^{T})X^{-1} [/mm] = 0
y ist ein nx1 Vektor. w ein 1x3 Vektor und X eine nx3 Matrix. Von daher müsste es wohl korrekt eigentlich (y - [mm] Xw^{T})^{T}X [/mm] = 0 heissen.
Nun habe ich aber wieder keine Ahnung wie ich da auf die Lösung w = [mm] (X^{T}X)^{-1}X^{T}y [/mm] kommen soll.
Wenn ich das äussere Transponierte reinrechne bekomme ich [mm] (y^{T} [/mm] - [mm] wX^{T})X [/mm] = 0. Mit dem Distributivgesetzt dann [mm] y^{T}X [/mm] - [mm] wX^{T}X [/mm] = 0. Dann multipliziere ich auf beiden Seiten mit [mm] wX^{T}X.
[/mm]
[mm] y^{T}X [/mm] = [mm] wX^{T}X
[/mm]
Nun von rechts mit [mm] X^{-1} [/mm] multiplizieren.
[mm] y^{T}XX^{-1} [/mm] = [mm] wX^{T}. [/mm] Das lässt sich ja dann noch weiter kürzen.
[mm] y^{T} [/mm] = [mm] wX^{T}.
[/mm]
Nun noch mit [mm] X^{T^{-1}} [/mm] von rechts multiplizieren.
[mm] y^{T}X^{T^{-1}} [/mm] = w.
Dieses Resultat ist ja überhaupt nicht das was ich bekommen sollte.
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Hi Tobias
Vielen Dank für die Antwort.
Ich habe also am Schluss folgende Gleichung.
[mm] y^{T}X(X^{T}X)^{-1} [/mm] = w
Nun transponiere ich beide Seiten.
[mm] [y^{T}X(X^{T}X)^{-1}]^{T} [/mm] = [mm] w^{T}
[/mm]
Das sollte ja nun folgendes ergeben.
[mm] (X^{T}X)^{-1}X^{T}Y [/mm] = [mm] w^{T}
[/mm]
Das ist mir wieder nicht ganz klar. Mir ist zwar klar, dass gemäss der Regeln beim Transponieren der linken Seite die Operatoren vertauscht werden, allerdings sehe ich nicht wieso [mm] [(X^{T}X)^{-1}]^{T} [/mm] = [mm] (X^{T}X)^{-1} [/mm] ergibt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe also am Schluss folgende Gleichung.
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> [mm]y^{T}X(X^{T}X)^{-1}[/mm] = w
>
> Nun transponiere ich beide Seiten.
>
> [mm][y^{T}X(X^{T}X)^{-1}]^{T}[/mm] = [mm]w^{T}[/mm]
Genau.
> Das sollte ja nun folgendes ergeben.
>
> [mm](X^{T}X)^{-1}X^{T}Y[/mm] = [mm]w^{T}[/mm]
Ja.
> Das ist mir wieder nicht ganz klar. Mir ist zwar klar, dass
> gemäss der Regeln beim Transponieren der linken Seite die
> Operatoren vertauscht werden, allerdings sehe ich nicht
> wieso [mm][(X^{T}X)^{-1}]^{T}[/mm] = [mm](X^{T}X)^{-1}[/mm] ergibt.
Du benötigst hier, dass für invertierbare Matrizen $M$ auch [mm] $M^T$ [/mm] invertierbar ist und [mm] $(M^{-1})^T=(M^T)^{-1}$ [/mm] gilt.
Beweis:
Zu zeigen ist, dass [mm] $(M^{-1})^T$ [/mm] invers zu [mm] $M^T$ [/mm] ist.
In der Tat gilt [mm] $(M^{-1})^T*M^T=(M*M^{-1})^T=E^T=E$ [/mm] und [mm] $M^T*(M^{-1})^T=(M^{-1}*M)^T=E^T=E$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:48 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Übrigens (für den Fall, dass es sich nicht um einen simplen Tippfehler handelt) lautet der Plural von "Matrix" nicht "Matrixen", sondern "Matrizen".
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