Matrizengleichung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Di 29.10.2013 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Das Matrix-Gleichungssystem lautet:
(1) A = V [mm] \cdot [/mm] L [mm] \cdot [/mm] V
(2) B = V [mm] \cdot [/mm] L [mm] \cdot [/mm] L [mm] \cdot [/mm] V
A, B, V und L seien 2 [mm] \times [/mm] 2 - Matrizen.
Dabei sind A und B bekannt, V und L hingegen unbekannt. |
Hallo zusammen,
im Rahmen meiner wissenschaftlichen Arbeit bin ich mit obigem Matrix - Gleichungssystem konfrontiert.
Meine erste Frage hierzu wäre: Sind solche Gleichungssysteme "Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten" im Falle von Matrizen überhaupt (algebraisch oder numerisch) lösbar ?
Falls ja, geht es mir darum, die Vorgehensweise zu verstehen, um dies später z.B. in MATLAB implementieren zu können, falls noch nicht vorhanden.
Als Ansatz habe ich die Matrizen mal in ihre Komponenten zerlegt und die Matrizen aus den beiden Gleichungen von Hand durchmultipliziert.
Bei der ersten Gleichung ergibt sich
[mm] a_{11} [/mm] = [mm] v_{11}^2 l_{11} [/mm] + [mm] v_{11}l_{12}v_{21} [/mm] + [mm] v_{21}v_{11}l_{12} [/mm] + [mm] v_{21}v_{12}l_{22}
[/mm]
[mm] a_{12} [/mm] = [mm] v_{12}v_{11}l_{11} [/mm] + [mm] v_{12}^2 l_{21} [/mm] + [mm] v_{22}v_{11}l_{12} [/mm] + [mm] v_{22}v_{12}l_{22}
[/mm]
[mm] a_{21} [/mm] = [mm] v_{11}v_{21}l_{11} [/mm] + [mm] v_{11}v_{22}l_{21} [/mm] + [mm] v_{21}^2 l_{12} [/mm] + [mm] v_{21}v_{22}l_{22}
[/mm]
[mm] a_{22} [/mm] = [mm] v_{12}v_{21}l_{11} [/mm] + [mm] v_{12}v_{22}l_{21} [/mm] + [mm] v_{22}v_{21}l_{12} [/mm] + [mm] v_{22}^2 l_{22}
[/mm]
wobei A = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
Für die Matrix B ergeben sich zudem vier weitere Gleichungen, sodass ich algebraisch gesehen 8 Gleichungen mit 8 Unbekannten habe.
Ich möchte die Matrizen L und V möglichst genau bestimmen.
Vermutlich ist dieses Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar, weil ich quadratische Abhängigkeiten habe.
Ich habe jedoch noch die Randbedingungen, dass die Determinante von allen aufgeführten Matrizen eins werden soll.
Ist dieses System algebraisch lösbar? Wenn nein, gibt es eine Möglichkeit für mich, möglichst nahe an eine Lösung zu kommen? Wo/Wie müsste ich ansetzen?
Ich bin für jede Anregung sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Di 29.10.2013 | | Autor: | hippias |
Das Gleichungssystem sollte sich direkt per Hand loesen lassen - Irrtum meinerseits eingeschlossen. Die Loesbarkeit ergibt sich dann aus der Frage, ob [mm] $AB^{-1}A$ [/mm] als ein Quadrat einer Matrix dargestellt werden kann; worueber ich aber nichts sagen kann, das duertfe aber stark von den Matrizen $A$ und $B$ abhaengen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Di 29.10.2013 | | Autor: | MattiJo |
> Das Gleichungssystem sollte sich direkt per Hand loesen
> lassen - Irrtum meinerseits eingeschlossen. Die Loesbarkeit
> ergibt sich dann aus der Frage, ob [mm]AB^{-1}A[/mm] als ein Quadrat
> einer Matrix dargestellt werden kann; worueber ich aber
> nichts sagen kann, das duertfe aber stark von den Matrizen
> [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] abhaengen.
Kannst du mir den letzten Satz genauer erläutern? Kann da noch nicht so genau folgen.
Warum müsste [mm]AB^{-1}A[/mm] als Quadrat einer Matrix dargestellt werden?
Und welche Bedingungen gibt es dann für die Lösungen, wenn es von den Matrizen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] abhängt? Was müssen diese erfüllen? Nur die genannte Darstellbarkeit als Quadrat oder auch noch weitere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Di 29.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Das Gleichungssystem sollte sich direkt per Hand loesen
> > lassen - Irrtum meinerseits eingeschlossen. Die Loesbarkeit
> > ergibt sich dann aus der Frage, ob [mm]AB^{-1}A[/mm] als ein Quadrat
> > einer Matrix dargestellt werden kann; worueber ich aber
> > nichts sagen kann, das duertfe aber stark von den Matrizen
> > [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] abhaengen.
>
> Kannst du mir den letzten Satz genauer erläutern? Kann da
> noch nicht so genau folgen.
> Warum müsste [mm]AB^{-1}A[/mm] als Quadrat einer Matrix
> dargestellt werden?
Rechne nach: [mm]AB^{-1}A=V^2[/mm]
> Und welche Bedingungen gibt es dann für die Lösungen,
> wenn es von den Matrizen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] abhängt? Was müssen
> diese erfüllen? Nur die genannte Darstellbarkeit als
> Quadrat oder auch noch weitere?
Oben hast Du geschrieben, dass alle Matrizen Determinate 1 haben
Damit sind alle Matrizen invertierbar, also auch [mm]AB^{-1}A[/mm]
Man kann zeigen: ist C eine komplexe nxn-Matrix und C invertierbar, so gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] eine komplexe Matrix [mm] D_n [/mm] mit
[mm] D_n^n=C.
[/mm]
Weiter kann man zeigen: es ex. eine Komplexe Matrix F mit [mm] e^F=C.
[/mm]
FRED
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Hallo MattiJo,
ich habe leider gerade keine Zeit, es selbst zu versuchen, werde aber den Eindruck nicht los, dass Du durch reine Matrizenoperationen wie Multiplikation mit der Inversen etc. erst L und dann auch V bestimmen kannst.
Hast Du das auch schon versucht?
Die Auflösung eines nichtlinearen Gleichungssystems mit acht Variablen scheint mir jedenfalls wenig erfolgversprechend.
Vielleicht gibt es da numerische Verfahren, aber da bin ich gerade überfragt. Ich schau heute am späten Abend noch mal rein. Vielleicht sieht bis dahin ja jemand mehr.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Mi 30.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MattiJo!
Auch auf die Gefahr hin, manches schon Geschriebene zu wiederholen, möchte ich etwas ausführlicher antworten.
Da alle beteiligten Matrizen Determinante 1 haben, sind sie insbesondere invertierbar (das benutze ich im Folgenden immer wieder).
Damit sind die beiden Matrizengleichungen (1) und (2) äquivalent zu
(1') [mm]L=V^{-1}AV^{-1}[/mm]
(2') [mm]L^2=V^{-1}BV^{-1}[/mm].
Durch Einsetzen von (1') in (2') erhalten wir, dass (2') unter (1') äquivalent ist zu
(2'') [mm](V^{-1}AV^{-1})^2=V^{-1}BV^{-1}[/mm].
Diese Gleichung wiederum ist äquivalent zu
(2''') [mm]((V^{-1}AV^{-1})^2)^{-1}=(V^{-1}BV^{-1})^{-1}[/mm].
Die rechte Seite ergibt [mm]VB^{-1}V[/mm]; die linke Seite lässt sich wie folgt vereinfachen:
[mm]((V^{-1}AV^{-1})^2)^{-1}=((V^{-1}AV^{-1})^{-1})^{2}=(VA^{-1}V)^2=VA^{-1}V^2A^{-1}V[/mm].
Also ist (2''') äquivalent zu
(2iv) [mm]VA^{-1}V^2A^{-1}V=VB^{-1}V[/mm],
also zu
(2v) [mm]A^{-1}V^2A^{-1}=B^{-1}[/mm]
und damit zu
(2vi) [mm]V^2=AB^{-1A}[/mm].
Insgesamt sind die Gleichungen (1) und (2) also (unter der Nebenbedingung, dass alle beteiligten Matrizen invertierbar sind) äquivalent zu
(1') [mm]L=V^{-1}AV^{-1}[/mm]
(2vi) [mm]V^2=AB^{-1}A[/mm].
Damit ist die Lösung des Gleichungssystems mit Nebenbedingung, dass alle beteiligten Matrizen Determinante 1 haben, darauf zurückgeführt, die Quadratwurzeln [mm]V[/mm] von [mm]C:=AB^{-1}A[/mm] mit Determinante 1 zu bestimmen.
Sei nun
[mm]C=\pmat{ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} }[/mm].
Unter Benutzung von [mm]\det C=1[/mm] erhalte ich, dass [mm]C[/mm] im Falle [mm]c_{11}+c_{22}\not=2[/mm] zwei verschiedene komplexe Eigenwerte besitzt und somit komplex diagonalisierbar ist.
Den Spezialfall, dass [mm]C[/mm] nicht komplex diagonalisierbar ist (also insbesondere [mm]c_{11}+c_{22}=2[/mm] gilt) habe ich noch nicht gelöst.
Sei daher ab jetzt [mm]C[/mm] komplex diagonalisierbar.
Außerdem betrachten wir alle Matrizen als Matrizen komplexer Zahlen.
(Falls du nur an reellen Lösungen des Gleichungssystemes interessiert bist, kannst du ja am Ende die reellen Lösungen herausfischen.)
Die Matrix [mm]C[/mm] ist also ähnlich zu einer Diagonalmatrix [mm]D[/mm], also
[mm]D=S^{-1}CS[/mm]
für eine invertierbare [mm]2\times 2[/mm]-Matrix [mm]S[/mm].
Man kann sich überlegen: Die Quadratwurzeln [mm]V[/mm] von [mm]C[/mm] (mit [mm]\det V=1[/mm]) sind genau die Matrizen der Form [mm]SWS^{-1}[/mm] für die Quadratwurzeln [mm]W[/mm] von [mm]D[/mm] (mit [mm]\det W=1[/mm]).
Wegen [mm]\det D=1[/mm] hat [mm]D[/mm] als Diagonalmatrix die Form
[mm]D=\pmat{d&0\\0&d^{-1}}[/mm]
für eine komplexe Zahl [mm]d\not=0[/mm].
Damit ist unser Problem (im Falle [mm]c_{11}+c_{22}\not=2[/mm]) darauf zurückgeführt, die Quadratwurzeln mit Determinante 1 einer Matrix der Form
[mm]D=\pmat{d&0\\0&d^{-1}}[/mm]
zu finden.
Seien [mm]w_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] die beiden Quadratwurzeln von [mm]d[/mm].
Dann sind offenbar
[mm]W_1:=\pmat{w_1&0\\0&w_1^{-1}}[/mm]
und
[mm]W_2:=\pmat{w_2&0\\0&w_2^{-1}}[/mm]
Quadratwurzeln von [mm]D[/mm] mit Determinante 1.
Wenn ich mich nicht vertan habe, gibt es im Falle [mm]d\not=-1[/mm] keine weiteren Quadratwurzeln mit Determinante 1.
Im Falle [mm]d=-1[/mm] sind die Matrizen der Form
[mm]W_{x,y}:=\pmat{x&y\\\bruch{-x^2-1}{y}&-x}[/mm]
für [mm]x,y\in\IC[/mm] mit [mm]y\not=0[/mm] die einzigen weiteren Quadratwurzeln von [mm]D[/mm] mit Determinante 1.
Es bleibt zu einer vollständigen Lösung des Problems nun nur noch das Problem, die Quadratwurzeln einer nicht diagonalisierbaren [mm]2\times 2[/mm] Matrix [mm]C[/mm] von Determinante [mm]1[/mm] zu bestimmen. (Insbesondere gilt für eine solche Matrix [mm]c_{11}+c_{22}=2[/mm].)
(Das scheint auf Fallunterscheidungen hinauszulaufen.)
Falls ich irgendetwas genauer ausführen soll, frag einfach nach!
Viele Grüße
Tobias
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