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| Aufgabe | Bestimmen Sie c [mm] \in \IQ [/mm] so, dass
( [mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 3 \\ 5 & c }, A_{2}, A_{3}, A_{4} [/mm] )
linear abhaengig in [mm] \IQ^{2x2} [/mm] ist. |
Hallo,
wieder einmal habe ich eine Frage zum Verstaendnis.
[mm] A_{2} [/mm] - [mm] A_{4} [/mm] sind in der Aufgabenstellung gegeben, diese habe ich aber bewusst oben nicht angegeben, weil es um etwas anderes geht.
Ich konnte die Aufgabe erfolgreich loesen. Dazu habe ich alle 4 Matrizen zusammengefasst in eine Matrix der Form:
A = [mm] \pmat{ x_{1} & x_{2} & x_{3} & -1 \\ x_{1} & x_{2}& x_{3} & 3 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & 5 \\ x_{1} &x_{2} & x_{3} & c}
[/mm]
und mithilfe des Gauss-Algorithmus c so bestimmt, dass es sich bei [mm] A_{1} [/mm] um eine linear abhaengige Matrix handelt. Das Gleichungssystem hatte also unendlich viele Loesungen.
Nun zu meiner Frage, die wahrscheinlich ziemlich banal ist:
Warum darf man die Matrix [mm] A_{1} [/mm] als Spalte in der Matrix A schreiben?
Einen Vektor b = [mm] \vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}, [/mm] kann ich ja auch als
Matrix [mm] B^{3x1} [/mm] = [mm] \pmat{ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} } [/mm] auffassen ist das korrekt?
Dass man die erste und zweite Spalte von [mm] A_{1} [/mm] als Vektor schreiben kann macht fuer mich Sinn, aber warum darf man diese beiden Spalten untereinander als eine Spalte der Matrix schreiben?
Gruss
mathlooser
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 So 03.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie c [mm]\in \IQ[/mm] so, dass
>
> ( [mm]A_{1}[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 3 \\ 5 & c }, A_{2}, A_{3}, A_{4}[/mm] )
>
> linear abhaengig in [mm]\IQ^{2x2}[/mm] ist.
> Hallo,
>
> wieder einmal habe ich eine Frage zum Verstaendnis.
>
> [mm]A_{2}[/mm] - [mm]A_{4}[/mm] sind in der Aufgabenstellung gegeben, diese
> habe ich aber bewusst oben nicht angegeben, weil es um
> etwas anderes geht.
>
> Ich konnte die Aufgabe erfolgreich loesen. Dazu habe ich
> alle 4 Matrizen zusammengefasst in eine Matrix der Form:
>
> A = [mm]\pmat{ x_{1} & x_{2} & x_{3} & -1 \\ x_{1} & x_{2}& x_{3} & 3 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & 5 \\ x_{1} &x_{2} & x_{3} & c}[/mm]
Hä ? In A sind ja die ersten 3 Spalten gleich !! Das würde [mm] A_2=A_3=A_4 [/mm] bedeuten !
>
> und mithilfe des Gauss-Algorithmus c so bestimmt, dass es
> sich bei [mm]A_{1}[/mm] um eine linear abhaengige Matrix handelt.
Was soll das denn bedeutetn ????? Meinst Du etwa A (und nicht [mm] A_1) [/mm] ?
> Das Gleichungssystem hatte also unendlich viele Loesungen.
>
> Nun zu meiner Frage, die wahrscheinlich ziemlich banal
> ist:
>
> Warum darf man die Matrix [mm]A_{1}[/mm] als Spalte in der Matrix A
> schreiben?
Der Raum [mm] \IR^{2 \times 2} [/mm] ist isomorph zum Raum [mm] \IR^4.
[/mm]
FRED
>
> Einen Vektor b = [mm]\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}},[/mm] kann ich
> ja auch als
>
> Matrix [mm]B^{3x1}[/mm] = [mm]\pmat{ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} }[/mm] auffassen
> ist das korrekt?
>
> Dass man die erste und zweite Spalte von [mm]A_{1}[/mm] als Vektor
> schreiben kann macht fuer mich Sinn, aber warum darf man
> diese beiden Spalten untereinander als eine Spalte der
> Matrix schreiben?
>
> Gruss
>
> mathlooser
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Hi,
danke fuer die Antwort.
> Hä ? In A sind ja die ersten 3 Spalten gleich !! Das würde $ [mm] A_2=A_3=A_4 [/mm] $ bedeuten !
Oh, so war das natuerlich nicht gemeint.
Sei [mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 3 \\ 5 & c }
[/mm]
Warum darf ich das dann in folgender Form schreiben:
A = [mm] \pmat{ a_{14} & a_{12} & a_{13} & -1 \\ a_{24} & a_{22} & a_{23} & 3 \\ a_{34} & a_{32} & a_{33} & 5 \\ a_{44} & a_{42} & a_{43} & c} [/mm] = [mm] \pmat{ a_{14} & a_{12} & a_{13} & a_{11} \\ a_{24} & a_{22} & a_{23} & a_{21} \\ a_{34} & a_{32} & a_{33} & a_{31} \\ a_{44} & a_{42} & a_{43} & a_{41}}
[/mm]
Also warum darf ich
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
als
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} \\ a_{12} \\ a_{21} \\ a_{22} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \\ a_{41} }
[/mm]
schreiben?
> Was soll das denn bedeutetn ????? Meinst Du etwa A (und nicht $ [mm] A_1) [/mm] $ ?
Ja, es war A gemeint, sorry!
> Der Raum $ [mm] \IR^{2 \times 2} [/mm] $ ist isomorph zum Raum $ [mm] \IR^4. [/mm] $
Ok, die Matrizen [mm] A_{1} [/mm] - [mm] A_{4} [/mm] sind also 4-Dimensional richtig? Warum ist das so? Mit 4-Dimensionalen Vektoren kann ich etwas anfangen, aber Matrizen? Ich haette gedacht es handelt sich um eine 2-Dimensionale Matrix.
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 So 03.05.2015 | | Autor: | mathlooser |
wobei [mm] a_{ij} [/mm] mit i,j [mm] \in \IN [/mm] natuerlich die Koeffizienten sein sollen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Der Raum [mm]\IR^{2 \times 2}[/mm] ist isomorph zum Raum [mm]\IR^4.[/mm]
>
> Ok, die Matrizen [mm]A_{1}[/mm] - [mm]A_{4}[/mm] sind also 4-Dimensional
> richtig?
welcher Definition liegt bei Dir der Begriff *Dimension* zugrunde? In endlich
dimensionalen Vektorräumen ist das die Anzahl der Elemente EINER Basis -
wobei wir hier natürlich schon das Problem haben, dass *endlichdimensional*
eigentlich beinhaltet, etwas über Dimensionen zu wissen.
Ich kann es auch sauberer formulieren, ich hoffe dennoch, dass Du auch so
weißt, was gemeint ist!
> Warum ist das so? Mit 4-Dimensionalen Vektoren
> kann ich etwas anfangen, aber Matrizen? Ich haette gedacht
> es handelt sich um eine 2-Dimensionale Matrix.
Die endliche Familie
[mm] $\red{\left(\black{\;\;\pmat{1, & 0 \\ 0, &0},\;\pmat{0, & 1 \\ 0, &0},\;\pmat{0, & 0 \\ 1, &0},\;\pmat{0, & 0 \\ 0, &1}\;\;}\right)}$
[/mm]
ist eine maximal linear unabhängige Familie im [mm] $\IR^{2 \times 2}\,.$ [/mm] "Isomorph" bedeutet
aber eigentlich noch mehr - schau' mal nach, was Fred im Detail damit
behauptet hat.
Und der Beweis dazu ist wirklich "naheliegendes Vorgehen"...
Man bildet Basisvektoren auf Basisvektoren ab, *naheliegend* ist etwa
[mm] $\pmat{1, & 0 \\ 0, &0} \longmapsto (1,0,0,0)^T$
[/mm]
[mm] $\pmat{0, & 1 \\ 0, &0} \longmapsto (0,1,0,0)^T$
[/mm]
[mm] $\pmat{0, & 0 \\ 1, &0} \longmapsto (0,0,1,0)^T$
[/mm]
[mm] $\pmat{0, & 0 \\ 0, &1} \longmapsto (0,0,0,1)^T$
[/mm]
Dadurch wird eine lineare Abbildung [mm] $\IR^{2 \times 2} \to \IR^4$ [/mm] eindeutig definiert, wie
man in der linearen Algebra gelernt hat (schau' etwa in "Bosch, Lineare
Algebra")...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke fuer die Antwort.
Also mit Dimension meinte ich genau das. Dass die Anzahl der Elemente einer Basis in [mm] \IR^{2x2} [/mm] gleich der Anzahl der Elemente einer Basis in [mm] \IR^{4} [/mm] ist.
> Man bildet Basisvektoren auf Basisvektoren ab, *naheliegend* ist etwa
Das ist mir nicht so ganz klar.
Zunächst mal: Warum ist [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ein BasisVEKTOR und keine Matrix bzw eben beides?
Und wie sieht die Regel fuer die Abbildung aus? Bzw warum darf man das?
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke fuer die Antwort.
>
> Also mit Dimension meinte ich genau das. Dass die Anzahl
> der Elemente einer Basis in [mm]\IR^{2x2}[/mm] gleich der Anzahl der
> Elemente einer Basis in [mm]\IR^{4}[/mm] ist.
>
> > Man bildet Basisvektoren auf Basisvektoren ab,
> *naheliegend* ist etwa
>
> Das ist mir nicht so ganz klar.
>
> Zunächst mal: Warum ist [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] ein
> BasisVEKTOR und keine Matrix bzw eben beides?
wie ist der [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] denn definiert?
Weil hier anscheinend einiges unklar ist (das ist halt das Problem, dass
manche Physiker etwa von "einem 4-dimensionalen Vektor" sprechen; dabei
hat das etwas mit Koordinaten- oder Koordinatenabbildungen zu tun):
Rechne mir mal bitte vor, in welchem Sinne denn der
[mm] $\IR^{2 \times 2}$
[/mm]
eigentlich ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ist. (Ich meine damit *in üblicher Weise*.)
("Vektoren" sind in der Mathematik nämlich nicht einfach *Tupel*, sondern
Elemente eines Vektorraums!)
Welche Verknüpfungen brauchst und kennst Du dafür?
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Es seien [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \IQ^{1x4}, y_{1}, y_{2}, y_{3} \in \IQ^{4x1}, A_{1}, A_{2}, A_{3} \in \IQ^{2x2}, f_{1}, f_{2}, f_{3} \in \IQ[X]_{<4} [/mm] gegeben durch:
[mm] x_{1} [/mm] = (-1 1 -1 -2), [mm] x_{2} [/mm] = (-3 6 2 -8), [mm] x_{3} [/mm] = (-2 3 1 -5),
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ -2}, y_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 6 \\ 2 \\ -8}, y_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 1 \\ -5}
[/mm]
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ -1 & -2 }, A_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ -3 & 6 \\ 2 & -8 }, A_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ -3 & 2 \\ 1 & -5 }
[/mm]
[mm] f_{1} [/mm] = -1 + X - [mm] X^{2} [/mm] - [mm] 2X^{3}, f_{2} [/mm] = -3 + 6X + [mm] 2X^{2} [/mm] - [mm] 8X^{3}, f_{3} [/mm] = -2 + 3X + [mm] X^{2} [/mm] - [mm] 5X^{3}
[/mm]
Bestimmen Sie c $ [mm] \in \IQ [/mm] $ so, dass
[mm] (\pmat{ -1 & 3 \\ 5 & c }, A_{1}, A_{2}, A_{3})
[/mm]
linear abhaengig in $ [mm] \IQ^{2x2} [/mm] $ ist. |
Hallo,
danke fuer die Antwort.
also es geht ja in der Aufgabe um [mm] \IQ^{2x2}; [/mm] wie der definiert ist weiss ich leider nicht, zumindest konnte ich im Skript nichts finden.
Ich schreibe nun einmal die Aufgabe vollstaendig oben auf, villeicht hilft das.
> Rechne mir mal bitte vor, in welchem Sinne denn der
> $ [mm] \IR^{2 \times 2} [/mm] $
> eigentlich ein $ [mm] \IR [/mm] $-Vektorraum ist. (Ich meine damit *in üblicher Weise*.)
Mit Vektorraeumen bin ich noch nicht so fit, damit beschaeftige ich mich zur Zeit.
Gruss
mathlooser
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Mo 04.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm]x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \IQ^{1x4}, y_{1}, y_{2}, y_{3} \in \IQ^{4x1}, A_{1}, A_{2}, A_{3} \in \IQ^{2x2}, f_{1}, f_{2}, f_{3} \in \IQ[X]_{<4}[/mm]
> gegeben durch:
>
> [mm]x_{1}[/mm] = (-1 1 -1 -2), [mm]x_{2}[/mm] = (-3 6 2 -8), [mm]x_{3}[/mm] = (-2 3 1
> -5),
>
> [mm]y_{1}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -1 \\ -2}, y_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 6 \\ 2 \\ -8}, y_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ 1 \\ -5}[/mm]
>
> [mm]A_{1}[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ -1 & -2 }, A_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ -3 & 6 \\ 2 & -8 }, A_{3}[/mm]
> = [mm]\pmat{ -3 & 2 \\ 1 & -5 }[/mm]
>
> [mm]f_{1}[/mm] = -1 + X - [mm]X^{2}[/mm] - [mm]2X^{3}, f_{2}[/mm] = -3 + 6X + [mm]2X^{2}[/mm] -
> [mm]8X^{3}, f_{3}[/mm] = -2 + 3X + [mm]X^{2}[/mm] - [mm]5X^{3}[/mm]
>
>
>
> Bestimmen Sie c [mm]\in \IQ[/mm] so, dass
>
> [mm](\pmat{ -1 & 3 \\ 5 & c }, A_{1}, A_{2}, A_{3})[/mm]
>
> linear abhaengig in [mm]\IQ^{2x2}[/mm] ist.
> Hallo,
>
> danke fuer die Antwort.
>
> also es geht ja in der Aufgabe um [mm]\IQ^{2x2};[/mm] wie der
> definiert ist weiss ich leider nicht, zumindest konnte ich
> im Skript nichts finden.
[mm] \IQ^{2 \times 2} [/mm] ist die Menge aller Matrizen [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] mit $a,b,c,d [mm] \in \IQ$
[/mm]
>
> Ich schreibe nun einmal die Aufgabe vollstaendig oben auf,
> villeicht hilft das.
>
> > Rechne mir mal bitte vor, in welchem Sinne denn der
>
> > [mm]\IR^{2 \times 2}[/mm]
>
> > eigentlich ein [mm]\IR [/mm]-Vektorraum ist. (Ich meine damit *in
> üblicher Weise*.)
>
> Mit Vektorraeumen bin ich noch nicht so fit, damit
> beschaeftige ich mich zur Zeit.
Du sollst c [mm] \in \IQ [/mm] so bestimmen, dass es [mm] t_1,t_2,t_3,t_4 \in \IQ [/mm] gibt mit
[mm] t_1A_1+t_2A_2+t_3A_3+t_4\pmat{ -1 & 3 \\ 5 & c }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
und nicht alle [mm] t_j [/mm] =0.
FRED
>
> Gruss
>
> mathlooser
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