Matrizen und Äquvalenzklassen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die durch A:= [mm] \pmat{ \overline{31} & \overline{12} & \overline{62} & \overline{24} & \overline{72} & \overline{42} \\ \overline{12} & \overline{13} & \overline{84} & \overline{12} & \overline{72} & \overline{54} \\ \overline{62} & \overline{10} & \overline{91} & \overline{12} & \overline{32} & \overline{54} \\ \overline{58} & \overline{40} & \overline{14} & \overline{37} & \overline{98} & \overline{86} \\ \overline{36} & \overline{74} & \overline{66} & \overline{56} & \overline{99} & \overline{10} \\ \overline{24} & \overline{4} & \overline{76} & \overline{76} & \overline{98} & \overline{15} }
[/mm]
und B:= [mm] \pmat{ \overline{31} & \overline{86} & \overline{87} & \overline{18} & \overline{1} & \overline{10} \\ \overline{42} & \overline{81} & \overline{76} & \overline{21} & \overline{32} & \overline{61} \\ \overline{45} & \overline{80} & \overline{59} & \overline{22} & \overline{93} & \overline{66} \\ \overline{74} & \overline{13} & \overline{44} & \overline{31} & \overline{88} & \overline{23} \\ \overline{13} & \overline{20} & \overline{43} & \overline{0} & \overline{59} & \overline{26} \\ \overline{26} & \overline{37} & \overline{2} & \overline{11} & \overline{30} & \overline{17} }
[/mm]
gegebenen Matrizen über dem Körper [mm] \IZ_{2} [/mm] = [mm] \IZ/2\IZ [/mm] mit zwei Elementen. Richtig oder falsch?
1.) A*B= [mm] \pmat{ \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{0} & \overline{9} & \overline{6} \\ \overline{4} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{1} & \overline{8} & \overline{3} \\ \overline{5} & \overline{0} & \overline{9} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{6} \\ \overline{6} & \overline{7} & \overline{2} & \overline{1} & \overline{0} & \overline{7} \\ \overline{1} & \overline{6} & \overline{7} & \overline{8} & \overline{1} & \overline{0} \\ \overline{2} & \overline{1} & \overline{6} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{1} }
[/mm]
2.) A*B= [mm] \pmat{ \overline{12341} & \overline{14236} & \overline{23537} & \overline{54358} & \overline{12421} & \overline{74570} \\ \overline{14232} & \overline{12211} & \overline{42346} & \overline{32211} & \overline{32112} & \overline{45741} \\ \overline{21235} & \overline{31210} & \overline{55329} & \overline{34442} & \overline{76553} & \overline{42346} \\ \overline{12424} & \overline{21553} & \overline{43254} & \overline{41121} & \overline{43258} & \overline{52233} \\ \overline{33123} & \overline{36650} & \overline{21553} & \overline{32130} & \overline{56439} & \overline{42346} \\ \overline{15556} & \overline{42557} & \overline{76552} & \overline{41411} & \overline{34550} & \overline{64657} }
[/mm]
3.) A*B= [mm] \pmat{ \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} & \overline{6} \\ \overline{8} & \overline{9} & \overline{10} & \overline{11} & \overline{12} & \overline{13} \\ \overline{15} & \overline{16} & \overline{17} & \overline{18} & \overline{19} & \overline{20} \\ \overline{22} & \overline{23} & \overline{24} & \overline{25} & \overline{26} & \overline{27} \\ \overline{29} & \overline{30} & \overline{31} & \overline{32} & \overline{33} & \overline{34} \\ \overline{36} & \overline{37} & \overline{38} & \overline{39} & \overline{40} & \overline{41} }
[/mm]
4.) A*B = A
5.) A*B = B |
Hallo!
Mein Überlegung war, dass [mm] \IZ_{2} [/mm] = [mm] \IZ/2\IZ [/mm] zwei Elemente hat, und zwar die Äuquivalenzklassen in der die geraden Zahlen sind, und die in der die ungeraden Zahlen sind. Wenn ich nun A*B ausrechne muss ich dann nicht nur gucken, ob an den gleichen Stellen die gleiche Äuquvalenzklasse steht? Also ob an den gleichen Stellen in den Matrizen gerade und ungerade Zahlen stehen?
Wären also diese beide Matrizen [mm] \pmat{ \overline{1} & \overline{2} \\ \overline{3} & \overline{4} } \pmat{ \overline{5} & \overline{10} \\ \overline{11} & \overline{20} } [/mm] gleich, da [mm] \overline{1} [/mm] und [mm] \overline{5} [/mm] ungerade sind und in der gleichen Äquvalenzklasse, genauso bei [mm] \overline{2} [/mm] und [mm] \overline{10}, \overline{3} [/mm] und [mm] \overline{11}, \overline{4} [/mm] und [mm] \overline{20} [/mm] ? (Nur so als Beispiel, damit klar ist was ich meine... bin mir nicht so sicher ob ich das verständlich aufgeschrieben habe ;) )
Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen würde!
MFG
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Hallo Michael,
> Betrachten Sie die durch A:= [mm]\pmat{ \overline{31} & \overline{12} & \overline{62} & \overline{24} & \overline{72} & \overline{42} \\ \overline{12} & \overline{13} & \overline{84} & \overline{12} & \overline{72} & \overline{54} \\ \overline{62} & \overline{10} & \overline{91} & \overline{12} & \overline{32} & \overline{54} \\ \overline{58} & \overline{40} & \overline{14} & \overline{37} & \overline{98} & \overline{86} \\ \overline{36} & \overline{74} & \overline{66} & \overline{56} & \overline{99} & \overline{10} \\ \overline{24} & \overline{4} & \overline{76} & \overline{76} & \overline{98} & \overline{15} }[/mm]
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> und B:= [mm]\pmat{ \overline{31} & \overline{86} & \overline{87} & \overline{18} & \overline{1} & \overline{10} \\ \overline{42} & \overline{81} & \overline{76} & \overline{21} & \overline{32} & \overline{61} \\ \overline{45} & \overline{80} & \overline{59} & \overline{22} & \overline{93} & \overline{66} \\ \overline{74} & \overline{13} & \overline{44} & \overline{31} & \overline{88} & \overline{23} \\ \overline{13} & \overline{20} & \overline{43} & \overline{0} & \overline{59} & \overline{26} \\ \overline{26} & \overline{37} & \overline{2} & \overline{11} & \overline{30} & \overline{17} }[/mm]
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> gegebenen Matrizen über dem Körper [mm]\IZ_{2}[/mm] = [mm]\IZ/2\IZ[/mm] mit
> zwei Elementen. Richtig oder falsch?
>
> 1.) A*B= [mm]\pmat{ \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{0} & \overline{9} & \overline{6} \\ \overline{4} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{1} & \overline{8} & \overline{3} \\ \overline{5} & \overline{0} & \overline{9} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{6} \\ \overline{6} & \overline{7} & \overline{2} & \overline{1} & \overline{0} & \overline{7} \\ \overline{1} & \overline{6} & \overline{7} & \overline{8} & \overline{1} & \overline{0} \\ \overline{2} & \overline{1} & \overline{6} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{1} }[/mm]
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> 2.) A*B= [mm]\pmat{ \overline{12341} & \overline{14236} & \overline{23537} & \overline{54358} & \overline{12421} & \overline{74570} \\ \overline{14232} & \overline{12211} & \overline{42346} & \overline{32211} & \overline{32112} & \overline{45741} \\ \overline{21235} & \overline{31210} & \overline{55329} & \overline{34442} & \overline{76553} & \overline{42346} \\ \overline{12424} & \overline{21553} & \overline{43254} & \overline{41121} & \overline{43258} & \overline{52233} \\ \overline{33123} & \overline{36650} & \overline{21553} & \overline{32130} & \overline{56439} & \overline{42346} \\ \overline{15556} & \overline{42557} & \overline{76552} & \overline{41411} & \overline{34550} & \overline{64657} }[/mm]
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> 3.) A*B= [mm]\pmat{ \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} & \overline{6} \\ \overline{8} & \overline{9} & \overline{10} & \overline{11} & \overline{12} & \overline{13} \\ \overline{15} & \overline{16} & \overline{17} & \overline{18} & \overline{19} & \overline{20} \\ \overline{22} & \overline{23} & \overline{24} & \overline{25} & \overline{26} & \overline{27} \\ \overline{29} & \overline{30} & \overline{31} & \overline{32} & \overline{33} & \overline{34} \\ \overline{36} & \overline{37} & \overline{38} & \overline{39} & \overline{40} & \overline{41} }[/mm]
>
> 4.) A*B = A
> 5.) A*B = B
Boah, da hast du dir aber einen Haufen Tipparbeit gemacht.
Wie lange hast du gebraucht?
> Hallo!
> Mein Überlegung war, dass [mm]\IZ_{2}[/mm] = [mm]\IZ/2\IZ[/mm] zwei
> Elemente hat, und zwar die Äuquivalenzklassen in der die
> geraden Zahlen sind, und die in der die ungeraden Zahlen
> sind. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wenn ich nun A*B ausrechne muss ich dann nicht nur
> gucken, ob an den gleichen Stellen die gleiche
> Äuquvalenzklasse steht? Also ob an den gleichen Stellen in
> den Matrizen gerade und ungerade Zahlen stehen?
> Wären also diese beide Matrizen [mm]\pmat{ \overline{1} & \overline{2} \\ \overline{3} & \overline{4} } \pmat{ \overline{5} & \overline{10} \\ \overline{11} & \overline{20} }[/mm]
> gleich, da [mm]\overline{1}[/mm] und [mm]\overline{5}[/mm] ungerade sind und
> in der gleichen Äquvalenzklasse, genauso bei [mm]\overline{2}[/mm]
> und [mm]\overline{10}, \overline{3}[/mm] und [mm]\overline{11}, \overline{4}[/mm]
> und [mm]\overline{20}[/mm] ? (Nur so als Beispiel, damit klar ist
> was ich meine... bin mir nicht so sicher ob ich das
> verständlich aufgeschrieben habe ;) )
>
> Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen würde!
Reduziere mal in allen Matrizen alle Einträge auf die Äquivalenzklassen [mm] $\overline{0}$ [/mm] und [mm] $\overline{1}$
[/mm]
Wie du ja schon angedeutet hast, ist für jede ungerade Zahl $a$ doch [mm] $\overline{a}=\overline{1}$ [/mm] und für jede gerade Zahl $b$ ist [mm] $\overline{b}=\overline{0}$
[/mm]
Die ungeraden Zahlen lassen ja bei Division durch 2 den Rest 1, die geraden Rest 0.
Dann ergibt sich die Antwort von ganz allein, insbesondere die Matrix $A$ ist "nett"
Bedenke die Rechenregeln [mm] $\overline{x}\oplus\overline{y}=\overline{x+y}$ [/mm] und [mm] $\overline{x}\odot\overline{y}=\overline{x\cdot{}y}$
[/mm]
> MFG
LG
schachuzipus
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Hallo!
Ja, die Eingabe hat ein bisschen länger gedauert ;)
Also, für A ergibt sich dann die Einheitsmatrix [mm] E_{6} [/mm] also ist A*B = B
Also ist 1.) , 2.) , 3.) und 5.) richtig und 4.) falsch, stimmt das?
Vielen Dank!
MFG
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