Matrizen,nur triv Ideal,multpl < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Sa 29.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Se si K ein Körper. Beweisen Sie, dass [mm] M_n [/mm] (K) nur Ideale [mm] \{0\} [/mm] und [mm] M_n(K) [/mm] besitzt.
Hinweis: Es bezeichne [mm] E_{ij} [/mm] jene Matrix in [mm] M_n(K), [/mm] die in der i-ten Zeile und j-ten Spalte die Eintragungen 1 besitzt und sonst immer nur 0 als Eintragung. Ist [mm] I\not=\{0\} [/mm] ein Ideal von [mm] M_n(K), [/mm] so gibt es [mm] A=(a_{ij})_{1 \le i,j \le n} \in I\setminus\{0\}. [/mm] Daher gibt es k,l [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] mit der Eigenschaft [mm] a_{k,l}\not= [/mm] 0. Zeigen Sie für 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] n, dass [mm] E_{tk} [/mm] * A * [mm] E_{lt}=a_{kl} E_{tt}. [/mm] FOlgern sie daraus [mm] a_{kl} E_{tt} \in [/mm] I, [mm] a_{kl} E_{tt} [/mm] * [mm] a_{kl}^{-1} E_{tt}=E_{tt} \in [/mm] I und [mm] I_n= E_{11}+..+E_{nn} \in [/mm] I |
Hallo zusammen,
ZZ.: [mm] E_{tk} [/mm] * A * [mm] E_{lt}=a_{kl} E_{tt}
[/mm]
[mm] (E_{tk} [/mm] * A * [mm] E_{lt})_{ij}= \sum_{u} (E_{tk} A)_{iu} (E_{lt})_{uj}= \sum_{u} (\sum_{m} (E_{tk})_{im} A_{mu}) (E_{lt})_{uj}=\sum_{u} (\sum_{m} \delta_{ti} A_{mu} [/mm] + [mm] \delta_{km} A_{mu}) (\delta_{ul} +\delta_{t_j})=\sum_{u} (\sum_{m} \delta_{ti} A_{mu} [/mm] ) [mm] +A_{ku}(\delta_{ul} +\delta_{t_j})
[/mm]
Ist das überhaupt geschickt, das mittels Kronecka-Delta anzuschreiben??
Ich bin ein wenig verwirrt, wie ich das weiterschreiben kann.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Sa 29.11.2014 | | Autor: | hippias |
> Se si K ein Körper. Beweisen Sie, dass [mm]M_n[/mm] (K) nur Ideale
> [mm]\{0\}[/mm] und [mm]M_n(K)[/mm] besitzt.
>
> Hinweis: Es bezeichne [mm]E_{ij}[/mm] jene Matrix in [mm]M_n(K),[/mm] die in
> der i-ten Zeile und j-ten Spalte die Eintragungen 1 besitzt
> und sonst immer nur 0 als Eintragung. Ist [mm]I\not=\{0\}[/mm] ein
> Ideal von [mm]M_n(K),[/mm] so gibt es [mm]A=(a_{ij})_{1 \le i,j \le n} \in I\setminus\{0\}.[/mm]
> Daher gibt es k,l [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] mit der Eigenschaft
> [mm]a_{k,l}\not=[/mm] 0. Zeigen Sie für 1 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] n, dass [mm]E_{tk}[/mm]
> * A * [mm]E_{lt}=a_{kl} E_{tt}.[/mm] FOlgern sie daraus [mm]a_{kl} E_{tt} \in[/mm]
> I, [mm]a_{kl} E_{tt}[/mm] * [mm]a_{kl}^{-1} E_{tt}=E_{tt} \in[/mm] I und [mm]I_n= E_{11}+..+E_{nn} \in[/mm]
> I
> Hallo zusammen,
>
>
> ZZ.: [mm]E_{tk}[/mm] * A * [mm]E_{lt}=a_{kl} E_{tt}[/mm]
> [mm](E_{tk}[/mm] * A *
> [mm]E_{lt})_{ij}= \sum_{u} (E_{tk} A)_{iu} (E_{lt})_{uj}= \sum_{u} (\sum_{m} (E_{tk})_{im} A_{mu}) (E_{lt})_{uj}=\sum_{u} (\sum_{m} \delta_{ti} A_{mu}[/mm]
> + [mm]\delta_{km} A_{mu}) (\delta_{ul} +\delta_{t_j})=\sum_{u} (\sum_{m} \delta_{ti} A_{mu}[/mm]
> ) [mm]+A_{ku}(\delta_{ul} +\delta_{t_j})[/mm]
> Ist das überhaupt
> geschickt, das mittels Kronecka-Delta anzuschreiben??
Das ist nicht ungeschickt. Wir rechnen zusammen
[mm] $(E_{tk} [/mm] * A [mm] *E_{lt})_{i,j}= ((E_{tk} [/mm] * A) [mm] *E_{lt})_{i,j}= ((\sum_{r}(E_{t,k})_{u,r}A_{r,v})*E_{l,t})_{i,j}= (((E_{t,k})_{u,k}A_{k,v})*E_{l,t})_{i,j}=$ $(\sum_{s} ((E_{t,k})_{u,k}A_{k,s})_{u,s}(E_{l,t})_{s,z})_{i,j}= ((E_{t,k})_{u,k}A_{k,l})_{u,l}(E_{l,t})_{l,z})_{i,j}= (E_{t,k})_{i,k}A_{k,l}(E_{l,t})_{l,j}$
[/mm]
Jetzt untersuche die Faelle $i=t$ etc.
> Ich bin ein wenig verwirrt, wie ich das weiterschreiben
> kann.
>
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 29.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich habe im Laufe des Tages gemerkt, dass ich die [mm] E_{ij} [/mm] ganz falsch verstanden habe. In einen Buch hab ich nachgelesen (die das Bsp genauso lösen):
Mit b [mm] E_{ij} [/mm] bezeichnen wir die Matrix aus [mm] K^{n \times n}, [/mm] die im Schnittpunkt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte das Element b hat sonst lauter Nullen.
Ich dachte in der ganzen Zeile i und in der ganzen Spalte j wären Einser.
Wie hast du die [mm] E_{ij} [/mm] verstanden? Ist deine Rechnung noch gültig?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Sa 29.11.2014 | | Autor: | hippias |
Hihi, das verrate ich nicht! Finde es heraus...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 29.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo hippias,
Ich hab gefragt, weil ich deine Rechnung leider außer der ersten Gleichheit gar nicht verstehe.
Allgemein gilt doch:
[mm] (A*B)_{ij} [/mm] = [mm] \sum_{k}^n A_{ik} B_{kj}
[/mm]
[mm] ((A*B)*C)_{ij}= \sum_{k} (AB)_{ik} C_{kj} [/mm] = [mm] \sum_{k}( \sum_{l} A_{il} B_{lk}) [/mm] * [mm] C_{kj}
[/mm]
Ps.: Das Bsp hab ich sonst gelöst und den Teil eben mit händischer Matrizenmultiplikation. Aber da ich das nicht sehr elegant finde - arbeite ich noch daran.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Sa 29.11.2014 | | Autor: | hippias |
Ja, ich habe die Matrizen so aufgefasst, wie Du sie zuletzt beschrieben hast. Uebrigens kannst Du Dir auch leicht klarmachen, dass [mm] $AE_{t,l}$ [/mm] sozusagen die $t$-Spalte von $A$ enthaelt, und zwar in Spalte l, und sonst nur Nullen enthaelt.
Andersherum enthaelt [mm] $E_{k,s}A$ [/mm] die $s$-te Zeile von $A$ und zwar in der $k$-ten Zeile und sonst nur Nullen.
Durch diese Zeilen und Spalten Extraktion kann man sich das Ergebnis herleiten.
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