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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Fr 08.07.2016 | | Autor: | Fjury |
| Aufgabe | Seien die Matrix [mm] \mathcal{A} \in [/mm] M (3 x 3, [mm] \IR), [/mm] mit einem beliebigen reelen Parameter a und b [mm] \in \IR^{3}:
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 5 & -5 & 19 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 4 \\ 3a+1 \\ 24 }
[/mm]
i) Bestimmen sie die Lösungsmenge von Ax=b in Abhängigkeit von a.
ii) Berechnen sie den Rang der Matrix A in Abhängigkeit von a.
iii) Ist die Abbildung A surjektiv bzw. injektiv? |
Sind die Ergebnisse korrekt?
i)
für [mm] x_{3}=1
[/mm]
[mm] (a^{2}+a)x_{2}+ [/mm] 2a = 3a + 1
[mm] x_{2}=\bruch{a+1}{a^{2}+a}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{a+1}{a^{2}+a} [/mm] + 3= 4
[mm] x_{1}= [/mm] 1 + [mm] \bruch{a+1}{a^{2}+a}
[/mm]
ii)
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 5 & -5 & 19 }
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Rang= 2 für a=0
Rang= 3 für [mm] a\not= [/mm] 0
iii)
Für a=0 keins von beiden
Für a [mm] \not= [/mm] 0 injektiv, da Anzahl Spalten= Rang A
Grüße Adrian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Sa 09.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Seien die Matrix [mm]\mathcal{A} \in[/mm] M (3 x 3, [mm]\IR),[/mm] mit einem
> beliebigen reelen Parameter a und b [mm]\in \IR^{3}:[/mm]
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 5 & -5 & 19 }[/mm]
>
> B = [mm]\pmat{ 4 \\ 3a+1 \\ 24 }[/mm]
>
> i) Bestimmen sie die Lösungsmenge von Ax=b in
> Abhängigkeit von a.
> ii) Berechnen sie den Rang der Matrix A in Abhängigkeit
> von a.
> iii) Ist die Abbildung A surjektiv bzw. injektiv?
> Sind die Ergebnisse korrekt?
>
> i)
>
> für [mm]x_{3}=1[/mm]
>
> [mm](a^{2}+a)x_{2}+[/mm] 2a = 3a + 1
>
> [mm]x_{2}=\bruch{a+1}{a^{2}+a}[/mm]
Hier solltest Du die Fälle a=0, a=-1 und (a [mm] \ne [/mm] 0 , a [mm] \ne [/mm] -1) unterscheiden !!!
>
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]\bruch{a+1}{a^{2}+a}[/mm] + 3= 4
>
> [mm]x_{1}=[/mm] 1 + [mm]\bruch{a+1}{a^{2}+a}[/mm]
s.o.
>
> ii)
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 5 & -5 & 19 }[/mm]
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Rang= 2 für a=0
> Rang= 3 für [mm]a\not=[/mm] 0
Na, na, was ist mit a=-1 ?
>
> iii)
>
> Für a=0 keins von beiden
> Für a [mm]\not=[/mm] 0 injektiv, da Anzahl Spalten= Rang A
Wieder a=-1 ?
FRED
>
> Grüße Adrian
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Sa 09.07.2016 | | Autor: | Fjury |
i)
da geb ich dir recht, hab ich vergessen hinzuschreiben ^^.
Danke dir, aber bei
ii) & iii)
a=-1 lässt nur in der zweiten spalte den wert 0 werden. Das verändert jedoch nichts am rang der matrix, da noch -2 als 3ter wert übrig bleibt.
Wenn a [mm] \not= [/mm] 0 beinhaltet das automatisch auch die reelle Zahl -1 als Wert für a. Da injektiv und surjektiv abhängig vom rang sind, gilt das gleiche wie bei ii).
Oder soll ich einfach, damit es überprüft ist auch noch hinschreiben? Wäre vermutlich nicht schlecht, dann gibts auch keinen Abzug ^^.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 So 10.07.2016 | | Autor: | fred97 |
für a=-1 hat die Matrix den Rang 2
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 10.07.2016 | | Autor: | Fjury |
Und warum das? Versteh ich nicht, der Rang verändert sich doch nur, wenn eine Nullzeile oder Nullspalte entsteht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 So 10.07.2016 | | Autor: | fred97 |
schreib die Matrix mal hin, dann solltest du sehen, dass sie nur 2 linear unabhängige Zeilen hat.
fred
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