Matrizen, lin. Unabhängigkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Di 12.02.2008 | | Autor: | peanut1 |
Hallo zusammen,
wenn man vier schiefsymmetrische 3x3Matrizen hat und beweisen soll, dass die Vier linear abhängig sind, wie geht man denn da am besten vor?
Ich weiß , dass ich versuchen kann die Null nichttrivial darstellen kann. Damit hätte ich dann gezeigt, dass die vier Matrizen lin. abhängig sind. Aber da brauch ich doch ewig um eine solche Linearkombination zu finden, oder???
Die zweite Alternative geht irgendwie mit dem Untervektorraum. Aber das versteh ich nicht so recht. Wie funktionniert so etwas?
Eine Teilmenge nennt man doch Unterraum, wenn zwei Elemente aus dem Unterraum addiert wieder in dem Unterraum liegen. Aber wenn ich jetzt zwei Matrizen hab, die addiere, dann bekomm ich da eine neue Matrix raus. Woher kenn ich denn dann den Unterraum überhaupt, dass ich überprüfen kann, ob die Matrizen in dem Unterraum liegen........
Kann mir da irgendjemand weiterhelfen? Egal wie! Bin über alles dankbar, hab das nämlich nicht so recht verstanden...
Vielen Dank schonmal!
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> Hallo zusammen,
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> wenn man vier schiefsymmetrische 3x3Matrizen hat und
> beweisen soll, dass die Vier linear abhängig sind, wie geht
> man denn da am besten vor?
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> Ich weiß , dass ich versuchen kann die Null nichttrivial
> darstellen kann. Damit hätte ich dann gezeigt, dass die
> vier Matrizen lin. abhängig sind. Aber da brauch ich doch
> ewig um eine solche Linearkombination zu finden, oder???
Hallo,
dieser Weg läuft auf die Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems hinaus, welches aus 9 Gleichungen mit 4 Variablen besteht, also durchaus machbar, oder.
Zeig' doch mal, was Du bisher getan oder gerechnet hast!
> Die zweite Alternative geht irgendwie mit dem
> Untervektorraum. Aber das versteh ich nicht so recht. Wie
> funktionniert so etwas?
Ich weiß nicht recht, was Du hiermit meinst.
Möglicherweise dies: wenn Du eine Basis des Raumes der schiefsymmetrrischen Matrizen kennst (kennst Du eine?), kannst Du Deine vier gegebenen Matrizen als Koordinatenvektoren bzgl. dieser Basis schreiben und dann die Unabhängigkeit dieser Koordinatenvektoren prüfen.
Oder: wäre (!) die Dimension des Raumes der schiefsymmetrischen 3x3-Matrizen kleiner als 4, wüßtest Du natürlich sofort, daß Deine Matrizen abhängig sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 13.02.2008 | | Autor: | peanut1 |
Vielen lieben Dank erst einmal für deine Antwort.
> dieser Weg läuft auf die Lösung eines homogenen linearen
> Gleichungssystems hinaus, welches aus 9 Gleichungen mit 4
> Variablen besteht, also durchaus machbar, oder.
Ich hab da irgendwie nur drei Gleichungen mit vier Unbekannten:
[mm] \alpha [/mm] * Matrix1 + [mm] \beta [/mm] * Matrix2 + [mm] \gamma [/mm] * Matrix3 + [mm] \delta [/mm] * Matrix4 = 0
Und nachdem das ja 3x3Matrizen sind, hab ich drei Gleichung... Was mach ich denn da falsch?
Dann das mit der Dimension <4: Wie komm ich denn auf die Dimension von dem Raum der Matrizen? Und woher weiß ich, dass die kleiner als vier sein muss?
Zu den Basen weiß ich, dass ein System Bais heißt, wenn die darin enthaltenen Vektoren linear unabhängig sind. Da bin ich aber doch dann wieder am Anfang. Das will ich ja gerade wissen...
Ich hoffe, du verstehst einigermaßen, was ich meine...??>
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> > dieser Weg läuft auf die Lösung eines homogenen linearen
> > Gleichungssystems hinaus, welches aus 9 Gleichungen mit 4
> > Variablen besteht, also durchaus machbar, oder.
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> Ich hab da irgendwie nur drei Gleichungen mit vier
> Unbekannten:
> [mm]\alpha[/mm] * Matrix1 + [mm]\beta[/mm] * Matrix2 + [mm]\gamma[/mm] * Matrix3 +
> [mm]\delta[/mm] * Matrix4 = 0
>
> Und nachdem das ja 3x3Matrizen sind, hab ich drei
> Gleichung... Was mach ich denn da falsch?
Hallo,
nein, weil das 3x3-Matrizen sind, hast Du 9 Gleichungen, für jede Matrixposition eine.
Schreib doch mal Deine Matrizen konkret auf, dann kann man Dir das zeigen.
>
> Dann das mit der Dimension <4:
Moment! Ich habe nur geschrieben: wäre die Dimension des Raumes der schiefsymmetrischen 3x3-Matrizen kleiner als 4. Wäre. Konjunktiv oder so.
> Wie komm ich denn auf die
> Dimension von dem Raum der Matrizen?
Die Dimension des Raumes der 3x3-Matrizen solltest Du eigentlich wissen: sie ist 9.
Denn man braucht mindestens 9 Matrizen, um jede Matrix als Linearkombi darstellen zu können.
Die Standardbasis dieses Raumes ist [mm] (\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 },\pmat{ 0 & 1&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 },...,\pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 1&0 },\pmat{ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&1 }).
[/mm]
> Und woher weiß ich,
> dass die kleiner als vier sein muss?
Du kannst ja erstmal überlegen, wie schiefsymmetrische Matrizen aussehen.
Es muß ja gelten [mm] \pmat{ a & b&c \\ d & e&f \\ g & h&i }= \pmat{ -a & -d&-g \\ -b & -e&-h \\ -c & -f&-i }
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mi 13.02.2008 | | Autor: | peanut1 |
Hallo,
also ich hatte mir das so gedacht:
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 } [/mm] + [mm] \beta [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 } [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 } [/mm] + [mm] \delta [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] = 0
Und dann:
[mm] \alpha [/mm] + 2 [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] - 2 [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] + [mm] \delta [/mm] = 0
Und das dann für die anderen beiden Zeilen auch. Aber damit komm ich dann eben nur auf drei Gleichungen mit vier Unbekannten, was falsch ist.
> Moment! Ich habe nur geschrieben: wäre die Dimension des
> Raumes der schiefsymmetrischen 3x3-Matrizen kleiner als 4.
> Wäre. Konjunktiv oder so.
Allea klar, da hab ich etwas ungenau gelesen, sorry.
Die restlichen Hinweise, die du mir geschrieben hast, werde ich mir in Ruhe anschauen, vielleicht versteh ich das Ganze dann mal.
Dank dir!
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> Hallo,
> also ich hatte mir das so gedacht:
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 }[/mm] +
> [mm]\beta[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 }[/mm] +
> [mm]\gamma[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 }[/mm] +
> [mm]\delta[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] =
> 0
>
> Und dann:
> [mm]\alpha[/mm] + 2 [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] - 2 [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma[/mm] + [mm]\delta[/mm]
> = 0
Hallo,
das, was Du da schreibst, ist Unfug, und ich hoffe, daß Du es gleich selbst einsehen wirst.
Zunächst einmal ist festzustellen, daß Du 4 matrizen addierst, das Ergebnis auf der rechten Seite ist also eine Matrix, d.h. die 0 aud der rechten Seite steht abkürzend für [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Du solltest nun nicht, nur weil es um etwas geht, was Dir vielleicht nicht ganz klar ist, vollends die Nerven verlieren. Da oben sind Matrizen mit reellen Zahlen [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta [/mm] zu multiplizieren. Das kannst Du doch sicher, oder:
[mm] \pmat{ 0 & \alpha & 2\alpha \\ -\alpha & 0 & \alpha \\ -2\alpha & -\alpha & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & \beta & -2\beta \\ -\beta & 0 & \beta \\ 2\beta & -\beta & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & \gamma & 0 \\ -\gamma & 0 & \gamma \\ 0 & -\gamma & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & \delta & 0 \\ -\delta & 0 & -\delta \\ 0 & \delta & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Diese Matrizen sind zu addieren. Das kannst Du doch???
[mm] \pmat{ 0 & \alpha+\beta+\gamma+\delta & 2\alpha-2\beta \\ -\alpha-\beta-\gamma-\delta & 0 & \alpha +\beta+\gamma-\delta\\ -2\alpha+2\beta & -\alpha-\beta-\gamma+\delta & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
So, nun mußt Du die Einträge der Matrix links mit denen der rechten vergleichen.
Das liefert Dir, weil die Matrizen 9 Einträge haben, 9 Gleichungen, wenn man die, wo 0=0 steht, wegläßt, bleiben 6 Gleichungen übrig, von denen aus anderen Gründen auch nochmal welche verschwinden, das siehst Du später.
[mm] \alpha+\beta+\gamma+\delta=0
[/mm]
[mm] 2\alpha-2\alpha=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Du wirst sehen, daß Du in der Tat 3 Gleichungen mit 4 Variablen übrig behältst, und es kann gar nicht anders sein, als daß es eine nichttriviale Lösung gibt. (Welche Du für die gestellte Aufgabe noch nicht einmal berechnen mußt )
> > Moment! Ich habe nur geschrieben: wäre die Dimension des
> > Raumes der schiefsymmetrischen 3x3-Matrizen kleiner als 4.
> > Wäre. Konjunktiv oder so.
>
> Allea klar, da hab ich etwas ungenau gelesen, sorry.
Ja. Aber die Aussage mit dem kleiner als 4 stimmt durchaus.
Ich möchte nicht allzuviel dazu sagen, denn ich hoffe, daß Du vielleicht selber drauf kommst, was eine basis des Raumes der schiefsymmetrischen Matrizen ist.
Die Dimension ist 3, soviel sei verraten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mi 13.02.2008 | | Autor: | peanut1 |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Jetzt hab ich das kapiert mit den neun Gleichungen...
Hab das jetzt nochmal gerechnet und schon gibt das gleich mehr Sinn.
> Ich möchte nicht allzuviel dazu sagen, denn ich hoffe, daß
> Du vielleicht selber drauf kommst, was eine basis des
> Raumes der schiefsymmetrischen Matrizen ist.
Das ist ja auch gut so, dann lern ichs wenigstens.
Ich werd mir das nochmal von vorne alles anschauen und wenn ich dann wieder nicht weiter weiß, frag ich nochmal...
Vielen Dank für deine Hilfen!Die haben mir sehr weitergeholfen!
Viele Grüße
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