Matrizen ineinander überführen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | "Sind die folgenden beiden Matrizen ineinander überführbar oder nicht?"
$$ [mm] A=\begin{pmatrix}
-1 & -3 & 0 \\
-1 & -1 &-4 \\
1 & 11 & -4
\end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix}
0 & -5 & -5 \\
0 & 2 & 4 \\
3 & -2 & 3
\end{pmatrix} [/mm] $$
mit $A,B [mm] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ [/mm] |
Hi,
Meine Argumentation wäre folgende gewesen:
Für $A$ gilt:
Die Zeilen sind linear unabhängig [mm] $\Rightarrow$ [/mm] die Dimension des Zeilenraums ist 3 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A$ hat vollen Rang [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A$ invertierbar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A$ kann in die Einheitsmatrix übergeführt werden.
Gleiches gilt für $B$.
Beide können in die Einheitsmatrix übergeführt werden [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A,B$ können ineinander überführt werden.
Auch wenn ich die beiden Matrizen durch elementare Zeilenumformungen umforme, komme ich auf das gleiche Ergebnis.
Ich meine aber mich erinnern zu können, dass damals als die Aufgabe besprochen wurde, als Ergebnis herauskam, dass die Matrizen NICHT ineinander überführt werden können.
Deshalb wäre es nett, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Fehler liegt oder ob mich doch meine Erinnerung trübt :)
Viele Grüße und schon einmal Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Sa 16.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Was bedeutet denn "ineinander überführbar" ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Sa 16.08.2014 | | Autor: | arbitrage |
"Ineinander überführbar" bedeutet, dass die Matrizen durch elementare Zeilenumformungen ineinander überführt werden können.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Sa 16.08.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> "Sind die folgenden beiden Matrizen ineinander
> überführbar oder nicht?"
> [mm][/mm] [mm]A=\begin{pmatrix}
-1 & -3 & 0 \\
-1 & -1 &-4 \\
1 & 11 & -4
\end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix}
0 & -5 & -5 \\
0 & 2 & 4 \\
3 & -2 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
> [mm][/mm]
> mit [mm]A,B \in \mathbb{R}^{3 \times 3}[/mm]
> Hi,
>
> Meine Argumentation wäre folgende gewesen:
> Für [mm]A[/mm] gilt:
> Die Zeilen sind linear unabhängig [mm]\Rightarrow[/mm] die
> Dimension des Zeilenraums ist 3 [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A[/mm] hat vollen
> Rang [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A[/mm] invertierbar [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A[/mm] kann in die
> Einheitsmatrix übergeführt werden.
> Gleiches gilt für [mm]B[/mm].
> Beide können in die Einheitsmatrix übergeführt werden
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]A,B[/mm] können ineinander überführt werden.
> Auch wenn ich die beiden Matrizen durch elementare
> Zeilenumformungen umforme, komme ich auf das gleiche
> Ergebnis.
Wenn es um Zeilenumformungen geht, hast du Recht.
> Ich meine aber mich erinnern zu können, dass damals als
> die Aufgabe besprochen wurde, als Ergebnis herauskam, dass
> die Matrizen NICHT ineinander überführt werden können.
> Deshalb wäre es nett, wenn mir jemand sagen könnte, wo
> mein Fehler liegt oder ob mich doch meine Erinnerung trübt
> :)
Wenn das so ist, dann geht es hier offenbar nicht um Zeilenumformungen? Vielleicht ist ja die Frage, ob es eine invertierbare Matrix $T$ gibt mit $T A [mm] T^{-1} [/mm] = B$, also wenn $A$ und $B$ bzgl. evtl. verschiedenen Basen die gleiche lineare Transformation beschreiben. Da koennte es durchaus sein (hab's nicht nachgeprueft), dass $A$ und $B$ sich eben nicht so ineinander ueberfuehren lassen. (In dem Fall wuerd ich von beiden Matrizen das charakteristische Polynom bestimmen: wenn das schon nicht ueberein stimmt, dann gibt es keine solche Matrix $T$.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Sa 16.08.2014 | | Autor: | arbitrage |
Die genaue Aufgabenstellung lautete: "Führe die folgenden beiden Matrizen durch Zeilenumformungen ineinander über oder zeige, dass das unmöglich ist."
Mir ging es bei meiner Frage aber nur um die evtl. Überführbarkeit, deshalb hatte ich einen kleinen Teil der Frage weggelassen, dabei ist auch "Zeilenumformungen" verloren gegangen. Es ging deshalb wirklich nur um das Überführen durch Zeilenumformungen. Also ist die Frage geklärt.
Vielen Dank!
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