Matrizen drehen/spiegeln < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man betrachte für die angegebenen Vektorräume V über K die jeweils kanonische Basis X und bestimme zu den linearen Abbildungen f:V-->V jeweils die zugehörige Matrix [mm] A_{f,X,X}
[/mm]
(i) [mm] K=\IR, V=\IR^2, [/mm] f Drehung um 90 Grad im Gegenuhrzeigersinn
(ii) [mm] K=\IR, V=\IR^2, [/mm] f Spiegelung an der Geraden { (t,t) : t [mm] \in \IR [/mm] }
(iii) [mm] K=\IQ, V=\IQ(\wurzel{2}), [/mm] f Multiplikation mit [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta *\wurzel{2}, [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta \in \IQ [/mm] |
Hallo,
ich bin einwenig ratlos im Bezug auf die oben stehenden Aufgaben... und bräuchte daher ein wenig Hilfe..
Also soweit weiß ich:
Ich soll zu i, ii, iii immer die Matrix [mm] A_{f,X,X} [/mm] bestimmen.. Ja??
Basis [mm] X=(x_1,...,x_n).
[/mm]
Muss ich eigentlich noch zeigen, dass es sich um eine lin Abb handelt??
[mm] A_{f,X,X}=(f(x_1)_X,...,f(x_n)_X) [/mm] als def für [mm] A_{f,X,X}
[/mm]
und
[mm] f(x_j)=\summe_{i=1}^{m}\alpha_{ij}x_i [/mm] als def für [mm] f(x_j)_X, [/mm] die Spaltenvektoren aus [mm] A_{f,X,X}.
[/mm]
Aber ich weiß leider nicht was ich mit den f aus der Aufgabe anstellen soll :(
Wie geht das z.B. mit dem Drehen,also wie mache ich das formal für die Aufgabe??
Vielen Dank schon mal
LG
pythagora
|
|
| |
|
Hallo pythagora,
> Man betrachte für die angegebenen Vektorräume V über K
> die jeweils kanonische Basis X und bestimme zu den linearen
> Abbildungen f:V-->V jeweils die zugehörige Matrix
> [mm]A_{f,X,X}[/mm]
> (i) [mm]K=\IR, V=\IR^2,[/mm] f Drehung um 90 Grad im
> Gegenuhrzeigersinn
> (ii) [mm]K=\IR, V=\IR^2,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f Spiegelung an der Geraden { (t,t) :
> t [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> (iii) [mm]K=\IQ, V=\IQ(\wurzel{2}),[/mm] f Multiplikation mit
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta *\wurzel{2},[/mm] wobei [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta \in \IQ[/mm]
>
> Hallo,
> ich bin einwenig ratlos im Bezug auf die oben stehenden
> Aufgaben... und bräuchte daher ein wenig Hilfe..
>
> Also soweit weiß ich:
> Ich soll zu i, ii, iii immer die Matrix [mm]A_{f,X,X}[/mm]
> bestimmen.. Ja?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Basis [mm]X=(x_1,...,x_n).[/mm]
X soll jeweils die Standardbasis von V sein, in (a) und (b) also [mm] $X=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\}$
[/mm]
> Muss ich eigentlich noch zeigen, dass es sich um eine lin
> Abb handelt??
Nein, das geht aus dem Aufgabentet doch hervor ..
> [mm]A_{f,X,X}=(f(x_1)_X,...,f(x_n)_X)[/mm] als def für [mm]A_{f,X,X}[/mm]
> und
> [mm]f(x_j)=\summe_{i=1}^{m}\alpha_{ij}x_i[/mm] als def für
> [mm]f(x_j)_X,[/mm] die Spaltenvektoren aus [mm]A_{f,X,X}.[/mm]
>
> Aber ich weiß leider nicht was ich mit den f aus der
> Aufgabe anstellen soll :(
> Wie geht das z.B. mit dem Drehen,also wie mache ich das
> formal für die Aufgabe??
Überlege dir, was mit den beiden Vektoren der Standardbasis passiert, wenn du sie um 90° im Gegenuhrzeigersinn drehst ...
Der erste Vektor [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] wird auf [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] gedreht, das ist als LK der Standardbasisvektoren:
[mm] $\vektor{0\\1}=\red{0}\cdot{}\vektor{1\\0}+\red{1}\cdot{}\vektor{0\\1}$
[/mm]
Damit steht die erste Spalte der Darstellungsmatrix $A$ von f bzgl. X:
[mm] $A=\pmat{\red{0}&\dots\\\red{1}&\dots}$
[/mm]
Geht's nun weiter?
>
> Vielen Dank schon mal
> LG
> pythagora
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo, danke für die schnelle Antwort, das wäre dann ja für den Vektor b:
[mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] drehen --> [mm] \vektor{1 \\0}=1*\vektor{1 \\ 0}+0*\vektor{0 \\ 1} [/mm] .
also wäre A [mm] dann:A=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, [/mm] ja?? Das war's?? un dum 90° Drehen bedeutet also den Vektor einfach umdrehen?? (nur so aus interesse: warum sagt man nicht 180° für das "kippen" des vektors??)
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Fr 29.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Hey, das mit dem Drehen hat sich geklärt, denn man dreht ja die gesamte Matrix A und nicht nur die Spaltenvektoren,... ^^ Mein A ist doch so richtig oder??
|
|
|
| |
|
Nein ist es nicht [mm] A=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
meiner meinung nach
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pythagora,
wie Schmetterfee schon richtig angemerkt hat, wird bei der Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn der Vektor [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] auf den Vektor [mm] $\vektor{-1\\0}$ [/mm] abgebildet (falls dir das unklar ist, zeichne dir diese beiden Vektoren mal in ein Koordinatensystem ein).
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
hallo, oki, also muss ich immer versuchen, das ganze im koordinatensystem zu betrachten, um gibt es da formal auch irgendwie sowas wie einen beweis??
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> hallo, oki, also muss ich immer versuchen, das ganze im
> koordinatensystem zu betrachten, um gibt es da formal auch
> irgendwie sowas wie einen beweis??
Es ist eine Besonderheit dieser speziellen Aufgabe, dass sie in der Vorlesung formal nicht definierte Begriffe wie "Drehung" und "Spiegelung" verwendet. In diesem besonderen Fall ist damit solche Abbildungen von [mm] $\IR^2$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] gemeint, die den "anschaulichen" Drehungen und Spiegelungen im gewöhnlichen Koordinatensystem entsprechen. Die formale Ungenauigkeit liegt also beim Aufgabensteller, nicht bei dir.
|
|
|
| |
|
Aha, oki super, vielen Dank..
Die Spiegelung ist dann auch kein Problem mehr..
Aber für iii
Soll ich jetzt die Vektoren der Basis mit [mm] \alpha+\beta*\wurzel{2} [/mm] multiplizieren??Und wie ist das mit dem Koordinatensystem bei [mm] V=\IQ(\wurzel{2}) [/mm] ???
Danke schonmal..
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Aber für iii
> Soll ich jetzt die Vektoren der Basis mit
> [mm]\alpha+\beta*\wurzel{2}[/mm] multiplizieren??
Genau! Wie lautet nochmal die Standardbasis von [mm] \IQ(\wurzel{2})?
[/mm]
> Und wie ist das mit
> dem Koordinatensystem bei [mm]V=\IQ(\wurzel{2})[/mm] ???
Zur Vermeidung eines Missverständnisses: In den vorangegangenen Posts meinte ich mit "Koordinatensystem" das, was man aus der Schule kennt und sich als "Achsenkreuz" "hin malen" kann zur Darstellung von Paaren reeller Zahlen (also Vektoren des Vektorraumes [mm] $\IR^2$). [/mm] (Ich meinte nicht etwa den Begriff Koordinatensystem, wie er manchmal in der Uni-Linearen-Algebra als formal definierter Fachbegriff auftritt.)
Bei (iii) taucht weder der Vektorraum [mm] $\IR^2$ [/mm] noch irgendwelche formal nicht definierten Begriffe wie "Drehung" oder "Spiegelung" auf. Mit Koordinatensystemen, wie man sie aus der Schule kennt, hat dieser Aufgabenteil also nichts zu tun.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Aber für iii
> > Soll ich jetzt die Vektoren der Basis mit
> > [mm]\alpha+\beta*\wurzel{2}[/mm] multiplizieren??
> Genau! Wie lautet nochmal die Standardbasis von
> [mm]\IQ(\wurzel{2})?[/mm]
hmm [mm] \IQ [/mm] sind ja die rationalen Zahlen, also Brüche mit ganzen Zahlen im Zähler/nenner, algemein also [mm] \bruch{x}{y}, [/mm] aber Basis... Weiß ich leider nicht und vor allem im bezug auf [mm] \wurzel{2}... \bruch{\wurzel{2}}{y} [/mm] sowas vielleicht??? Magst du mir da auf die sprünge helfen??
> > Und wie ist das mit
> > dem Koordinatensystem bei [mm]V=\IQ(\wurzel{2})[/mm] ???
> Zur Vermeidung eines Missverständnisses: In den
> vorangegangenen Posts meinte ich mit "Koordinatensystem"
> das, was man aus der Schule kennt und sich als
> "Achsenkreuz" "hin malen" kann zur Darstellung von Paaren
> reeller Zahlen (also Vektoren des Vektorraumes [mm]\IR^2[/mm]). (Ich
> meinte nicht etwa den Begriff Koordinatensystem, wie er
> manchmal in der Uni-Linearen-Algebra als formal definierter
> Fachbegriff auftritt.)
Dann meinten wir das gleiche und ich hab nur einen unpassenden Begriff gehabt^^
> Bei (iii) taucht weder der Vektorraum [mm]\IR^2[/mm] noch
> irgendwelche formal nicht definierten Begriffe wie
> "Drehung" oder "Spiegelung" auf. Mit Koordinatensystemen,
> wie man sie aus der Schule kennt, hat dieser Aufgabenteil
> also nichts zu tun.
aha ok, also brauche ich nur die Basis, multipliziere de vektoren mit alpha+beta*wurzel2 und stelle das dann über die Basis dar und die koeffizienten kommen in die Martix A... ja??
dann felht mir nur die basis.... :( Kannst du mir helfen?? Ich komme mit [mm] \IQ \wurzel{2} [/mm] nicht wirklich zurecht und finde leider momentan auch nichts im skript...
LG und danke
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> aha ok, also brauche ich nur die Basis, multipliziere de
> vektoren mit alpha+beta*wurzel2 und stelle das dann über
> die Basis dar und die koeffizienten kommen in die Martix
> A... ja??
Genau!
> dann felht mir nur die basis.... :( Kannst du mir helfen??
> Ich komme mit [mm]\IQ \wurzel{2}[/mm] nicht wirklich zurecht und
> finde leider momentan auch nichts im skript...
Aber ihr hattet doch in der Vorlesung den [mm] $\IQ$-Vektorraum $\IQ(\wurzel [/mm] 2)$? Sonst könnt ihr die Aufgabe natürlich schlecht lösen...
Bekannt sein sollte (oder auch nicht, es gibt da nämlich verschiedene Möglichkeiten, [mm] $\IQ(\wurzel [/mm] 2)$ zu definieren...):
[mm] $\IQ(\wurzel 2):=\{a+b\wurzel 2\;|\;a,b\in\IQ\}$ [/mm] bildet einen [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation reeller Zahlen (klar, was ich damit meine?).
Eine Basis (die "Standard-Basis") dieses Vektorraumes ist [mm] $(1+0\wurzel 2,0+1\wurzel 2)=(1,\wurzel [/mm] 2)$.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > aha ok, also brauche ich nur die Basis, multipliziere de
> > vektoren mit alpha+beta*wurzel2 und stelle das dann über
> > die Basis dar und die koeffizienten kommen in die Martix
> > A... ja??
> Genau!
>
> > dann felht mir nur die basis.... :( Kannst du mir helfen??
> > Ich komme mit [mm]\IQ \wurzel{2}[/mm] nicht wirklich zurecht und
> > finde leider momentan auch nichts im skript...
> Aber ihr hattet doch in der Vorlesung den [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum
> [mm]\IQ(\wurzel 2)[/mm]? Sonst könnt ihr die Aufgabe natürlich
> schlecht lösen...
>
> Bekannt sein sollte (oder auch nicht, es gibt da nämlich
> verschiedene Möglichkeiten, [mm]\IQ(\wurzel 2)[/mm] zu
> definieren...):
> [mm]\IQ(\wurzel 2):=\{a+b\wurzel 2\;|\;a,b\in\IQ\}[/mm] bildet
> einen [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum mit der gewöhnlichen Addition und
> Multiplikation reeller Zahlen (klar, was ich damit
> meine?).
> Eine Basis (die "Standard-Basis") dieses Vektorraumes ist
> [mm](1+0\wurzel 2,0+1\wurzel 2)=(1,\wurzel 2)[/mm].
aha, ok, hab's gefungen im skript, also bilden die elemnte 1 (=a) und [mm] \wurzel [/mm] 2(=b) die Basis. dann geht das doch so :
[mm] a=1*\alpha [/mm] + [mm] \beta*\wurzel{2}=\alpha [/mm] + [mm] \beta*\wurzel{2}=\alpha*a [/mm] + [mm] \beta*b [/mm] ==> also ist [mm] \vektor{\alpha \\ \beta} [/mm] der erste vektor von A oder??
für b:
[mm] a=\wurzel{2}*( \alpha [/mm] + [mm] \beta*\wurzel{2})=\wurzel{2}*\alpha [/mm] + [mm] \beta*\wurzel{2}*\wurzel{2} [/mm] =( [mm] \wurzel{2}*\alpha [/mm] )*a + [mm] (\beta*\wurzel{2} [/mm] )*b ==> [mm] \vektor{ \wurzel{2}*\alpha \\ \beta*\wurzel{2}} [/mm] als zweiter vektor..
oder??
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> aha, ok, hab's gefungen im skript, also bilden die elemnte 1 (=a) und 2(=b) die Basis.
Sage nie DIE Basis eines Vektorraumes! Immer nur EINE Basis, oder die STANDARD-Basis (bei Vektorräumen, die eine "Standard-Basis" haben). Sonst könnte dein Gegenüber (z.B. ein dich prüfender Professor) glauben, du würdest denken, der Vektorraum habe nur eine Basis.
> [mm]\red{f(}a\red)=1*\alpha[/mm] + [mm]\beta*\wurzel{2}=\alpha[/mm] +
> [mm]\beta*\wurzel{2}=\alpha*a[/mm] + [mm]\beta*b[/mm] ==> also ist
> [mm]\vektor{\alpha \\ \beta}[/mm] der erste vektor von A oder??
Genau.
> für b:
> [mm]a=\wurzel{2}*( \alpha[/mm] +
> [mm]\beta*\wurzel{2})=\wurzel{2}*\alpha[/mm] +
> [mm]\beta*\wurzel{2}*\wurzel{2}[/mm] =( [mm]\wurzel{2}*\alpha[/mm] )*a +
> [mm](\beta*\wurzel{2}[/mm] )*b ==> [mm]\vektor{ \wurzel{2}*\alpha \\ \beta*\wurzel{2}}[/mm]
> als zweiter vektor..
Nein. [mm] $\IQ(\wurzel [/mm] 2)$ ist ein [mm] $\IQ$(!)-Vektorraum. [/mm] Also müssen die Koeffizienten, mit denen Vektoren bezüglich einer Basis dargestellt werden, aus [mm] $\IQ$ [/mm] sein.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > aha, ok, hab's gefungen im skript, also bilden die elemnte
> 1 (=a) und 2(=b) die Basis.
> Sage nie DIE Basis eines Vektorraumes! Immer nur EINE
> Basis, oder die STANDARD-Basis (bei Vektorräumen, die eine
> "Standard-Basis" haben). Sonst könnte dein Gegenüber
> (z.B. ein dich prüfender Professor) glauben, du würdest
> denken, der Vektorraum habe nur eine Basis.
Aha, ok, aber "Die Standardbasis des Vektorraumes QWurzel2" kann ich schreiben, ja??
> > [mm]\red{f(}a\red)=1*\alpha[/mm] + [mm]\beta*\wurzel{2}=\alpha[/mm] +
> > [mm]\beta*\wurzel{2}=\alpha*a[/mm] + [mm]\beta*b[/mm] ==> also ist
> > [mm]\vektor{\alpha \\ \beta}[/mm] der erste vektor von A oder??
> Genau.
>
> > für b:
> > [mm]a=\wurzel{2}*( \alpha[/mm] +
> > [mm]\beta*\wurzel{2})=\wurzel{2}*\alpha[/mm] +
> > [mm]\beta*\wurzel{2}*\wurzel{2}[/mm] =( [mm]\wurzel{2}*\alpha[/mm] )*a +
> > [mm](\beta*\wurzel{2}[/mm] )*b ==> [mm]\vektor{ \wurzel{2}*\alpha \\ \beta*\wurzel{2}}[/mm]
> > als zweiter vektor..
> Nein. [mm]\IQ(\wurzel 2)[/mm] ist ein [mm]\IQ[/mm](!)-Vektorraum. Also
> müssen die Koeffizienten, mit denen Vektoren bezüglich
> einer Basis dargestellt werden, aus [mm]\IQ[/mm] sein.
Oh ja, stimmt , mist,....also muss ich irgendwie die wurzeln wegbekommen oder kann ich sie irgendwie anders darstellen?? Bis wohin ist meine rechnung denn ok?? oder muss ich nach einem anderen Weg suchen??
LG und danke
pythagora
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Aha, ok, aber "Die Standardbasis des Vektorraumes
> QWurzel2" kann ich schreiben, ja??
> > Nein. [mm]\IQ(\wurzel 2)[/mm] ist ein [mm]\IQ[/mm](!)-Vektorraum. Also
> > müssen die Koeffizienten, mit denen Vektoren bezüglich
> > einer Basis dargestellt werden, aus [mm]\IQ[/mm] sein.
> Oh ja, stimmt , mist,....also muss ich irgendwie die
> wurzeln wegbekommen oder kann ich sie irgendwie anders
> darstellen?? Bis wohin ist meine rechnung denn ok?? oder
> muss ich nach einem anderen Weg suchen??
Ich sehe nicht, wo dein Problem ist.
Was macht f? Es multipliziert ein Element aus [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] mit [mm] $\alpha+\beta\sqrt{2}$, [/mm] wobei [mm] $\alpha,\beta\in\IQ$ [/mm] sind.
Was macht f also mit dem 2 Basisvektor [mm] $\sqrt{2}$?
[/mm]
Es ist [mm] $f(\red{\sqrt{2}})=(\alpha+\beta\sqrt{2})\cdot{}\red{\sqrt{2}}=\alpha\cdot{}\sqrt{2}+\beta\cdot{}\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2}=2\beta+\alpha\cdot{}\sqrt{2}$
[/mm]
Und das als LK der Elemente von [mm] $\{1,\sqrt{2}\}$ [/mm] darstellen:
[mm] 2\beta+\alpha\sqrt{2}=\lambda\cdot{}1+\mu\cdot{}\sqrt{2}$
[/mm]
Wie sieht dann wohl die 2.Spalte [mm] $\vektor{\lambda\\\mu}$ [/mm] der gesuchten Darstellungsmatrix aus??
>
> LG und danke
> pythagora
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo,
ach sooo,....
also sieht die sache so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
ja??
LG und vielen Dank an alle
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Ja, perfekt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Fr 29.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Super^^
dann bin ich ja fertig,
noch mal ein gaanz dickes D A N K E an alle!!
Viele liebe Grüße
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich kann man auch um 180° drehen, Wer sagt denn dass man das nicht tut?
Damit dus besser siehst nimm nen beliebigen Vektor, z. Bsp [mm] ˜2,5)^T [/mm] und mult mit deiner matrix und zeichne das Ergebnis ein!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo pythagora,
>
> > Man betrachte für die angegebenen Vektorräume V über K
> > die jeweils kanonische Basis X und bestimme zu den linearen
> > Abbildungen f:V-->V jeweils die zugehörige Matrix
> > [mm]A_{f,X,X}[/mm]
> > (i) [mm]K=\IR, V=\IR^2,[/mm] f Drehung um 90 Grad im
> > Gegenuhrzeigersinn
> > (ii) [mm]K=\IR, V=\IR^2,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> f Spiegelung an der Geraden { (t,t) :
> > t [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> }
> > (iii) [mm]K=\IQ, V=\IQ(\wurzel{2}),[/mm] f Multiplikation mit
> > [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta *\wurzel{2},[/mm] wobei [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta \in \IQ[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> > ich bin einwenig ratlos im Bezug auf die oben stehenden
> > Aufgaben... und bräuchte daher ein wenig Hilfe..
> >
> > Also soweit weiß ich:
> > Ich soll zu i, ii, iii immer die Matrix [mm]A_{f,X,X}[/mm]
> > bestimmen.. Ja??
> >
> > Basis [mm]X=(x_1,...,x_n).[/mm]
>
> X soll jeweils die Standardbasis von V sein, in (a) und (b)
> also [mm]X=\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\}[/mm]
>
> > Muss ich eigentlich noch zeigen, dass es sich um eine lin
> > Abb handelt??
>
> Nein, das geht aus dem Aufgabentet doch hervor ..
>
> > [mm]A_{f,X,X}=(f(x_1)_X,...,f(x_n)_X)[/mm] als def für [mm]A_{f,X,X}[/mm]
> > und
> > [mm]f(x_j)=\summe_{i=1}^{m}\alpha_{ij}x_i[/mm] als def für
> > [mm]f(x_j)_X,[/mm] die Spaltenvektoren aus [mm]A_{f,X,X}.[/mm]
> >
> > Aber ich weiß leider nicht was ich mit den f aus der
> > Aufgabe anstellen soll :(
> > Wie geht das z.B. mit dem Drehen,also wie mache ich das
> > formal für die Aufgabe??
>
> Überlege dir, was mit den beiden Vektoren der
> Standardbasis passiert, wenn du sie um 90° im
> Gegenuhrzeigersinn drehst ...
>
> Der erste Vektor [mm]\vektor{1\\0}[/mm] wird auf [mm]\vektor{0\\1}[/mm]
> gedreht, das ist als LK der Standardbasisvektoren:
>
> [mm]\vektor{0\\1}=\red{0}\cdot{}\vektor{1\\0}+\red{1}\cdot{}\vektor{0\\1}[/mm]
>
> Damit steht die erste Spalte der Darstellungsmatrix [mm]A[/mm] von f
> bzgl. X:
>
> [mm]A=\pmat{\red{0}&\dots\\\red{1}&\dots}[/mm]
>
> Geht's nun weiter?
also [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] wird doch auf [mm] \vektor{-1 \\ 0} [/mm] gedreht
[mm] \vektor{-1 \\ 0}= [/mm] -1 [mm] \vektor{1 \\ 0}+0 \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
also [mm] istA_{f,X,X}=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
so bei ii sollte ja gespiegelt werden:
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] wird ja zu [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1}=0 \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 1 [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] wird auf [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] gespiegelt
[mm] \vektor{1 \\ 0}= [/mm] 1 [mm] \vektor{1 \\ 0}+ [/mm] 0 [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
also ist hier [mm] A_{f,X,X}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
oder?..und was macht man jetzt genau bei iii?
LG Schmetterfee
> >
> > Vielen Dank schon mal
> > LG
> > pythagora
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
So, jetzt endlich hierzu! (Sorry, komme gerade kaum hinterher...)
Bei (i) und (ii) stimmt alles!
Zu (iii): Im Grunde macht man das gleiche wie bei (i) und (ii). Gut, zunächst muss man sich erinnern, wie eigentlich die Standard-Basis von [mm] $\IQ(\wurzel{2})$ [/mm] aussieht. Dann bestimmt man wieder die Bilder der Vektoren der Standard-Basis und stellt diese Bilder als Linearkombination der Standardbasis dar. Dann lässt sich wieder die gesuchte Matrix ablesen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
habt ihr Drehungen und die zugehörigen matrizen nicht gehabt? dann kannst du sie leicht finden, wenn du dir nur ansiehst, wohin ie Standardbasisvektoren abgebildet werden.
dass drehungen lineare Abb. sind sollte klar sein, spätestens, wenn du die matrix dafür hinschreibst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Fr 29.01.2010 | | Autor: | pythagora |
Jain, gerade ein wenig eingeführt (also nur spiegelung an einer Diagonalen) aber leider noch nicht, wie man damit rechnet oder das formal macht...
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Fr 29.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> dass drehungen lineare Abb. sind sollte klar sein,
> spätestens, wenn du die matrix dafür hinschreibst.
Für ganz so klar halte ich das nicht. Wenn man eine Matrix für eine Drehung hinschreibt, setzt man ja schon voraus, dass die Drehung linear ist! Man müsste sich schon klarmachen, dass die durch die Matrix beschriebene Abbildung tatsächlich dem entspricht, was man sich anschaulich unter einer Drehung im Koordinatensystem vorstellt.
|
|
|
|
