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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:12 Sa 04.06.2011 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | Ich habe zwei Matrizen [mm]A:=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & x \\
0 & 1 & y\end{pmatrix}\in \IF_2^{3\times 3}[/mm], .Z.z. es gibt höchstens 8 Matrizen [mm] $B\in \IF_2^{3\times 3} [/mm] mit BA=AB. |
Ich sehe es einfach nicht:
[mm]AB=BA[/mm]
[mm]\left( \begin {array}{ccc} g&h&i\\
a+xg&b+xh&c+xi\\
d+yg&e+yh&f+yi\end {array} \right) &=& \left( \begin {array}{ccc} b&c&a+bx+cy\\
e&c&d+ex+fy\\
c&i&b+xc+yi\end {array} \right)[/mm]
Wissen [mm]g=b[/mm] und [mm]h=c[/mm]. Nun ist [mm]B:= \begin{pmatrix}a & b & c \\
d & e & f \\
b & c & i\end{pmatrix}[/mm]
[mm]\left( \begin {array}{ccc} b&c&i\\
a+bx&b+xc&c+xi\\
d+yb&e+cy&f+yi\end {array} \right) &=&\left( \begin {array}{ccc} b&c&a+bx+cy\\
e&f&d+ex+fy\\
c&i&b+xc+yi\end {array} \right) [/mm]
wissen nun b+xc=f und a+bx=e
[mm]\left( \begin {array}{ccc} b&c&i\\
a+bx&b+xc&c+xi\\
d+yb&e+cy&f+yi\end {array} \right) &=&\left( \begin {array}{ccc} b&c&e+cy\\
e&f&d+ex+fy\\
c&i&f+yi\end {array} \right) [/mm]
wissen e+cy=i
[mm]\left( \begin {array}{ccc} b&c&i\\
a+bx&b+xc&c+xi\\
d+yb&e+cy&f+yi\end {array} \right) &=&\left( \begin {array}{ccc} b&c&i\\
e&f&d+ex+fy\\
c&i&f+yi\end {array} \right) [/mm]
jetzt klemmt es...
wie kann ich auf der rechten Seite noch Varialen eliminieren?
Am Ende möchte ich soetwas wie 3 Variablen aus der Menge {a,b,c,d,e,f,g,h,i} stehen haben. Dann komme ich auf 8 Möglichkeiten.
Oder geht das noch geschickter?
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Hallo,
ich begreife die Aufgabenstllung nicht richtig.
> Ich habe zwei Matrizen [mm]A:=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & x \\
0 & 1 & y\end{pmatrix}\in \IF_2^{3\times 3}[/mm],
Wieso zwei? Ich sehe eine Matrix A.
Wie ist das mit den x,y zu verstehen?
Sollen die gesuchten Matrizen B mit für alle [mm] (x,y)\in \IF_2^2 [/mm] mit A vertauschbar sein.
Dann ist A aber nicht zwei sondern 4 Matrizen, oder? Ich schreib' mal [mm] "A_{(x,y)}" [/mm] dafür.
Ich selbst würde dann alles 4 Gleichungssysteme [mm] A_{(0,0)}*B=B*A_{(0,0)} [/mm] usw. aufschreiben und damit weiterarbeiten.
Aber so wie Du es machst, sollte es ja auch gehen.
> .Z.z. es gibt höchstens 8 Matrizen [mm]$B\in \IF_2^{3\times 3}[/mm]
> mit BA=AB.
>
>
> Ich sehe es einfach nicht:
> [mm]AB=BA[/mm]
> [mm]\left( \begin {array}{ccc} g&h&i\\
a+xg&b+xh&c+xi\\
d+yg&e+yh&f+yi\end {array} \right) &=& \left( \begin {array}{ccc} b&c&a+bx+cy\\
e&c&d+ex+fy\\
c&i&b+xc+yi\end {array} \right)[/mm]
>
> Wissen [mm]g=b[/mm] und [mm]h=c[/mm]. Nun ist [mm]B:= \begin{pmatrix}a & b & c \\
d & e & f \\
b & c & i\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\left( \begin {array}{ccc} b&c&i\\
a+bx&b+xc&c+xi\\
d+yb&e+cy&f+yi\end {array} \right) &=&\left( \begin {array}{ccc} b&c&a+bx+cy\\
e&f&d+ex+fy\\
c&i&b+xc+yi\end {array} \right)[/mm]
>
> wissen nun b+xc=f und a+bx=e
Da das für x=0 und für x=1 gelten soll, weiß man doch hier,
daß b=f und b+c=f und a=e und a+b=0.
> [mm]\left( \begin {array}{ccc} b&c&i\\
a+bx&b+xc&c+xi\\
d+yb&e+cy&f+yi\end {array} \right) &=&\left( \begin {array}{ccc} b&c&e+cy\\
e&f&d+ex+fy\\
c&i&f+yi\end {array} \right)[/mm]
>
> wissen e+cy=i
Also e=i und e+c=i.
Jetzt würde ich mal Fallunterscheidungen machen. Für die Variablen gibt es ja nicht viele Möglichkeiten.
> [mm]\left( \begin {array}{ccc} b&c&i\\
a+bx&b+xc&c+xi\\
d+yb&e+cy&f+yi\end {array} \right) &=&\left( \begin {array}{ccc} b&c&i\\
e&f&d+ex+fy\\
c&i&f+yi\end {array} \right)[/mm]
>
> jetzt klemmt es...
> wie kann ich auf der rechten Seite noch Varialen
> eliminieren?
> Am Ende möchte ich soetwas wie 3 Variablen aus der Menge
> {a,b,c,d,e,f,g,h,i} stehen haben. Dann komme ich auf 8
> Möglichkeiten.
>
> Oder geht das noch geschickter?
Könnte sein, daß das mit schraf Nachdenken geht, aber ich weiß im Moment nicht, wie.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:56 So 05.06.2011 | | Autor: | wieschoo |
Erst einmal danke für deine Antwort. Die Matrix B soll mit der Matrix A für alle x,y kommutieren.
Ich hatte gedacht oder eher gehofft es mit einen Schlag zu erledigen. Anscheinend muss ich es doch für jeden Fall einzeln machen und dann die Schnittmenge bestimmen.
Falls jemand dennoch einen ganz eleganten Weg sieht, dann würde der mich sehr interessieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 So 05.06.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich schätze mal, dass die Aufgabe falsch gestellt ist. Denn es gibt für jeden Typ der Matrix 8 mögliche Matrizen, die mit A kommutieren.
=> bitte als nicht offen markieren.
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