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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:57 Do 25.12.2014 | | Autor: | Einschitein |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien a,b [mm] \in K^n
[/mm]
Sei nun M(a,b) := [mm] ab^T [/mm] - [mm] ba^T. [/mm] Zeigen sie folgende Aussagen:
1) Rang(M(a,b)) = 0 genau dann, wenn (a,b) linear abhängig ist.
2) Rang(M(a,b)) = 2 genau dann, wenn (a,b) linear unabhängig ist. |
Hallo,
habe M(a,b) berechnet. M(a,b) [mm] =\pmat{ 0 & a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2} & \cdots & a_{1}b_{n}-b_{1}a_{n} \\ a_{2}b_{1}-b_{2}a_{1} & 0 & \cdots & a_{2}b_{n}-b_{2}a_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n}b_{1}-b_{n}a_{1} & a_{n}b_{2}-b_{n}a_{2} & \cdots & 0 }.
[/mm]
Weis jedoch nicht wie ich weitermachen soll. Habe mir überlegt, dass falls M(a,b) = 0 (Nullmatrix) ist, dass dann auch der Rang = 0 ist. Ich weis aber nicht, wie ich die lineare Abhängigkeit/unabhängigkeit von (a,b) damit in Verbindung bringen soll. Vor allem bei der richtigen Schreibweise der Lösung hapert es bei mir. Wäre sehr dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:16 Fr 26.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei K ein Körper und seien a,b [mm]\in K^n[/mm]
>
> Sei nun M(a,b) := [mm]ab^T[/mm] - [mm]ba^T.[/mm] Zeigen sie folgende
> Aussagen:
> 1) Rang(M(a,b)) = 0 genau dann, wenn (a,b) linear
> abhängig ist.
> 2) Rang(M(a,b)) = 2 genau dann, wenn (a,b) linear
> unabhängig ist.
> Hallo,
>
> habe M(a,b) berechnet. M(a,b) [mm]=\pmat{ 0 & a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2} & \cdots & a_{1}b_{n}-b_{1}a_{n} \\ a_{2}b_{1}-b_{2}a_{1} & 0 & \cdots & a_{2}b_{n}-b_{2}a_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n}b_{1}-b_{n}a_{1} & a_{n}b_{2}-b_{n}a_{2} & \cdots & 0 }.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Weis jedoch nicht wie ich weitermachen soll. Habe mir
> überlegt, dass falls M(a,b) = 0 (Nullmatrix) ist, dass
> dann auch der Rang = 0 ist. Ich weis aber nicht, wie ich
> die lineare Abhängigkeit/unabhängigkeit von (a,b) damit
> in Verbindung bringen soll.
diese Aussage sollte doch eigentlich nicht besonders schwer zu beweisen
sein:
1. Fall: Sei $a=0\,$ oder $b=0\,.$ (Rechne einfach weiter... Du hast zwei Folgerungen
zu zeigen!)
2. Fall: Sei $a \not=0$ und $b \not=0.$
$\Rightarrow$ Da $a,b$ linear abhängig sind, gibt es ein $r \in K$, $r \not=0_K$ mit
$b=r*a\,.$
Schau' Dir jetzt mal an, wie
$M(a,r*a)\,$
aussieht (auschreiben!).
$\Leftarrow$ Hier sollte man sich vielleicht mal überlegen, welche Ränge
M(a,b) überhaupt annehmen kann (das wird, ohne, dass ich es bewiesen habe,
sicher nur 0,1 oder 2 sein können).
> Vor allem bei der richtigen
> Schreibweise der Lösung hapert es bei mir. Wäre sehr
> dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Wo hapert es bei der Schreibweise? Ich glaube, das wird kein Problem sein,
Dir da weiterzuhelfen.
Übrigens noch etwas zur Aufgabe: Wir setzen
$S=S(a,b):=a*b^T\,.$
Dann ist
$M(a,b)=S-S^T\,.$
Es folgt
${(M(a,b))}^T=(S-S^T)^T=S^T-{(S^T)}^T=S^T-S=-(S-S^T)=-M(a,b)\,.$
Also gilt
$M(a,b)=-(M(a,b))}^T$.
Das ist mir nur so aufgefallen.
Aber bevor Du Dich wunderst: Eigentlich habe ich hier sehr wenig
Informationsgehalt in dieser Antwort, konkret steht eigentlich nur
etwas zur Richtung $\Rightarrow$ bei der linearen Abhängigkeit da.
Vielleicht hilft Dir das andere aber dennoch ein wenig. Ich denke auch
nochmal demnächst über die Aufgabe nach, und damit andere das
auch tun, stelle ich sie mal nur auf halb beantwortet!
Gruß,
Marcel
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Hallo,
vielen dank für deine Antwort. Hab jetzt bei der 1) gezeigt, dass der Rang(M(a,b)) = 0 ist, wenn ich annehme, das (a,b) linear abhängig sind. Aber bei der anderen Richtung komm ich nicht weiter. Wie soll ich denn zeigen, dass (a,b) linear abhängig ist indem ich annehme, dass der Rang = 0 ist? Selbiges gilt für 2). Muss ich für die beiden Teilaufgaben Fallunterscheidungen machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 31.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:45 Fr 26.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo,
>
> habe M(a,b) berechnet. M(a,b) [mm]=\pmat{ 0 & a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2} & \cdots & a_{1}b_{n}-b_{1}a_{n} \\ a_{2}b_{1}-b_{2}a_{1} & 0 & \cdots & a_{2}b_{n}-b_{2}a_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n}b_{1}-b_{n}a_{1} & a_{n}b_{2}-b_{n}a_{2} & \cdots & 0 }.[/mm]
Das nützt dir nicht viel.
> Weis jedoch nicht wie ich weitermachen soll. Habe mir
> überlegt, dass falls M(a,b) = 0 (Nullmatrix) ist,
Genau, deshalb gilt [mm] $a_ib_j-a_jb_i=0$ [/mm] für alle i und j. Wir können annehmen, dass [mm] $a_{i_0}\neq [/mm] 0$ gilt für ein geeignetes [mm] $i_0$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $a_{i_0}b-b_{i_0}a=0$ [/mm] und somit $a,b$ linear abhängig.
Für die andere Richtung hat dir Marcel schon einen Tip gegeben.
Für die b) kanst du (ohne Einschränkung) annehmen, dass die ersten beiden Spalten linear unabhängig sind.
Es gilt also [mm] $r(a_1+a_2)b-s(b_1+b_2)a=0 \Rightarrow [/mm] r=s=0$
Fange nun bei [mm] $\alpha a+\beta [/mm] b=0$ mit [mm] $\alpha,\beta \in [/mm] K$ an und zeige [mm] $\alpha=\beta=0$.
[/mm]
> dann auch der Rang = 0 ist. Ich weis aber nicht, wie ich
> die lineare Abhängigkeit/unabhängigkeit von (a,b) damit
> in Verbindung bringen soll. Vor allem bei der richtigen
> Schreibweise der Lösung hapert es bei mir. Wäre sehr
> dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Fr 26.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Tipp: setze [mm] a:=(a_1,...,a_n)^T [/mm] und [mm] b:=(b_1,...,b_n)^T, [/mm] so lautet die j-te Zeile von M(a,b) so:
$ a_jb-b_ja.$
FRED
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