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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 02.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
| Aufgabe | [mm] D_{\varphi}:=\pmat{ cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & \varphi } [/mm] für [mm] \varphi [/mm] aus R
Bestimmen Sie alle Lösungen von [mm] (D_{\varphi}^{-1})^{14}*X*D_{\varphi}^4=D_{3*\varphi}^T [/mm] |
Kann mit jemand bei der Lösung dieser Aufgabe behilflich sein?
Da soweit ich weiß gild [mm] D_{\varphi}^{n}=D_{n \varphi} [/mm] wäre mein Lösungsansatz der folgende:
[mm] \pmat{ -cos14\varphi & sin14\varphi \\ -sin14\varphi & -cos14\varphi } [/mm] * X * [mm] \pmat{ cos4\varphi & -sin4\varphi \\ sin4\varphi & cos4\varphi } [/mm] = [mm] \pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi }
[/mm]
Aber was nun? Wie kann ich jetzt die Lösungen ermitteln?
Danke schon mal für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Kleiner Tipp: Wie man in TeX Formeln setzt, hast du ja bereits herausgefunden. Griechische Buchstaben bekommst du z.B. mit \alpha \beta \gamma \Gamma ... \phi \varphi \Phi ... \theta \vartheta \Theta. Das erzeugt
[mm] \alpha \beta \gamma \Gamma [/mm] ... [mm] \phi \varphi \Phi [/mm] ... [mm] \theta \vartheta \Theta
[/mm]
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> [mm]D_{\varphi}:=\pmat{ cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi }[/mm]
> für [mm]\varphi[/mm] aus R
> Bestimmen Sie alle Lösungen von
> [mm](D_{\varphi}^{-1})^{14}*X*D_{\varphi}^4=D_{3*\varphi}^T[/mm]
> Kann mit jemand bei der Lösung dieser Aufgabe behilflich
> sein?
>
> Da soweit ich weiß gild [mm]D_{\varphi}^{n}=D_{n \varphi}[/mm] wäre
> mein Lösungsansatz der folgende:
> [mm]\pmat{ -cos14\varphi & sin14\varphi \\ -sin14\varphi & -cos14\varphi }[/mm] * X * [mm]\pmat{ cos4\varphi & -sin4\varphi \\ sin4\varphi & cos4\varphi }[/mm] = [mm]\pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi }[/mm]
Hallo!
<==>- [mm] \pmat{ cos14\varphi & -sin14\varphi \\ sin14\varphi & cos14\varphi }\*X\*\pmat{ cos4\varphi & -sin4\varphi \\ sin4\varphi & cos4\varphi }=\pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi }
[/mm]
<==> [mm] \pmat{ cos14\varphi & -sin14\varphi \\ sin14\varphi & cos14\varphi }\*X\*\pmat{ cos4\varphi & -sin4\varphi \\ sin4\varphi & cos4\varphi }=-\pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi }
[/mm]
Du hast nun vor und hinter X "ganz normale" Drehmatrizen um den Winkel [mm] 14\varphi [/mm] bzw. [mm] 4\varphi.
[/mm]
Wenn Du jetzt auf beiden Seiten der Gleichung vorne mit der Matrix, welche um [mm] -14\varphi [/mm] dreht, und hinten mit der Matrix, die um [mm] -4\varphi [/mm] dreht, multiplizierst, so steht Dein X frei. Denn Hindrehen*Zurückdrehen=nix getan.
Die rechte Seite der Gleichung kannst Du dann ausrechnen.
Gruß v. Angela
EDIT: leider ist Dein Lösungsansatz nicht ganz richtig. Die erste Matrix muß [mm] \pmat{ cos(-14\varphi) & -sin(-14\varphi )\\ sin(-14\varphi) & cos(-14\varphi) } [/mm] heißen, was natürlich in Folge einige Änderungen nach sich zieht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 03.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
also könnte ich das X folgendermaßen ausrechenen:
[mm] X=\pmat{ -cos14\varphi & sin14\varphi \\ -sin14\varphi & -cos14\varphi } *\pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi } [/mm] * [mm] \pmat{ -cos4\varphi & sin4\varphi \\ -sin4\varphi & -cos4\varphi }
[/mm]
richtig?
Dann hätte ich noch eine Frage zur Mutiplikation, würde [mm] -cos14\varphi [/mm] * [mm] cos3\varphi [/mm] + [mm] sin14\varphi [/mm] * [mm] -sin3\varphi [/mm] = [mm] -cos42\varphi [/mm] - [mm] sin42\varphi [/mm] ergeben?
Vielen Dank schon mal!
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> also könnte ich das X folgendermaßen ausrechenen:
> [mm]X=\pmat{ -cos14\varphi & sin14\varphi \\ -sin14\varphi & -cos14\varphi } *\pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi }[/mm]
> * [mm]\pmat{ -cos4\varphi & sin4\varphi \\ -sin4\varphi & -cos4\varphi }[/mm]
>
> richtig?
Nicht so ganz, aber im Prinzip hast Du verstanden, was ich vorschlug.
1. Wo hast Du das Minuszeichen aus meiner letzten Zeile gelassen?
[mm] \pmat{ cos14\varphi & -sin14\varphi \\ sin14\varphi & cos14\varphi }*X*\pmat{ cos4\varphi & -sin4\varphi \\ sin4\varphi & cos4\varphi }=-\pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi }
[/mm]
2. Wie sieht die Matrix aus, welche z.B. um den Winkel [mm] -4\varphi [/mm] dreht?
> Dann hätte ich noch eine Frage zur Mutiplikation, würde $ [mm] -cos14\varphi [/mm] $ * $ [mm] cos3\varphi [/mm] $ + $ [mm] sin14\varphi [/mm] $ * $ [mm] -sin3\varphi [/mm] $ = $ [mm] -cos42\varphi [/mm] $ - $ [mm] sin42\varphi [/mm] $ ergeben?
Eher nicht...
Für so etwas mußt Du die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen bemühen. (Ich muß sie jedesmal aufs Neue nachschlagen...)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 03.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
Ok, das Minuszeichen ist untergegangen...
> 2. Wie sieht die Matrix aus, welche z.B. um den Winkel
> [mm]-4\varphi[/mm] dreht?
...gute Frage, ich bin davon ausgegangen das das die folgende ist:
[mm] \pmat{ -cos4\varphi & sin4\varphi \\ -sin4\varphi & -cos4\varphi }
[/mm]
und somit käme ich dann wieder hierhin:
[mm] X=\pmat{ -cos14\varphi & sin14\varphi \\ -sin14\varphi & -cos14\varphi } \cdot{} \pmat{ -cos3\varphi & -sin3\varphi \\ sin3\varphi & -cos3\varphi } \cdot{} \pmat{ -cos4\varphi & sin4\varphi \\ -sin4\varphi & -cos4\varphi }
[/mm]
Nach den Additionstheoremen habe ich im internet gesucht, bin aber leider auch nicht schlauer raus geworden.
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> Ok, das Minuszeichen ist untergegangen...
Das passiert.
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> > 2. Wie sieht die Matrix aus, welche z.B. um den Winkel
> > [mm]-4\varphi[/mm] dreht?
>
> ...gute Frage, ich bin davon ausgegangen das das die
> folgende ist:
> [mm]\pmat{ -cos4\varphi & sin4\varphi \\ -sin4\varphi & -cos4\varphi }[/mm]
>
Genau das hatte ich befürchtet...
Paß auf: eine Drehung in der Ebene um den Ursprung des Koordinatensystems um den Winkel [mm] \varphi [/mm] hat die darstellende Matrix
[mm] \pmat{ cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi } [/mm] .
Im Eingangspost wird sie [mm] D_{\varphi} [/mm] genannt, Drehung um [mm] \varphi.
[/mm]
Wenn wir um [mm] \alpha [/mm] drehen wollen, machen wir das mit [mm] \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha\\ sin\alpha & cos\alpha}, [/mm] und nun wirst Du nicht mehr lange überlegen müssen, wie Du um [mm] -4\varphi [/mm] und [mm] -14\varphi [/mm] zu drehen hast.
(Weil's enorm lustig und lehrreich ist, könntest Du ja mal [mm] D_{4\varphi}*D_{-4\varphi} [/mm] ausrechnen. Es muß die Einheitsmatrix herauskommen: hin - zurück - nix passiert)
> Nach den Additionstheoremen habe ich im internet gesucht,
> bin aber leider auch nicht schlauer raus geworden.
Sie stehen in Mathematischen Formelsammlungen, ich schlage immer in meinem zerlesenen "Bronstein" nach, welcher mich aus manch einer Verlegenheit rettet, und
![[]](/images/popup.gif) hier
findest du auch alles, was man wissen muß.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mi 03.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
Erst einmal vielen Dank für die Mühe und Gedult...
ich habe jetzt versucht etwas zu rechnen, wobei ich dann mit hilfe der Additionstheoreme die Therme immer zusammengefasst habe. Ich vermute aber das ich mal das ich dabei Vorzeichen durcheinander geworfen habe, hatte vorher noch nie mit der Drehmatrix zu tun und das ist alles neu für mich.
Als Ergebnis habe ich folgendes raus: [mm] \pmat{ -cos7 & -sind7 \\ -sin7 & -cos7 }
[/mm]
könnte das hinkommen?
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> Als Ergebnis habe ich folgendes raus: [mm]\pmat{ -cos7 & -sind7 \\ -sin7 & -cos7 }[/mm]
>
> könnte das hinkommen?
Hallo,
ich habe das nicht nachgerechnet, weil - mir ganz zu Anfang Deiner Bemühungen ein Fehler aufgefallen ist:
Du schreibst dort
"Da soweit ich weiß gild $ [mm] D_{\varphi}^{n}=D_{n \varphi} [/mm] $ wäre mein Lösungsansatz der folgende:
$ [mm] \pmat{ -cos14\varphi & sin14\varphi \\ -sin14\varphi & -cos14\varphi } [/mm] $ * X * $ [mm] \pmat{ cos4\varphi & -sin4\varphi \\ sin4\varphi & cos4\varphi } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi } [/mm] $"
Das erste, [mm] D_{\varphi}^{n}=D_{n \varphi}, [/mm] stimmt. (Und deshalb habe ich das nächste wohl einfach soi hingenommen...)
Du setzt dies dann verkehrt um. Es ist die Sache mit den Drehmatrizen, die ich in einem der vorhergehenden Posts erklärte.
Es ist also [mm] D_{\varphi}^{-1}=D_{-\varphi}=\pmat{ cos(-\varphi) & -sin(-\varphi) \\ sin(-\varphi) & cos(-\varphi) } [/mm]
Man könnte hier jetzt noch etwas herumspielen mit den Vorzeichen, aber das lasse ich vorerst bleiben, weil ich glaube, daß es eher verwirrt.
Entsprechend ist dann [mm] (D_{\varphi}^{-1})^{14}=D_{-14\varphi}=\pmat{ cos(-14\varphi) & -sin(-14\varphi) \\ sin(-14\varphi) & cos(-14\varphi) }.
[/mm]
Also lautet die zu lösende Gleichung
$ [mm] \pmat{ cos(-14\varphi) & -sin(-14\varphi) \\ sin(-14\varphi) & cos(-14\varphi) } [/mm] $ * X * $ [mm] \pmat{ cos4\varphi & -sin4\varphi \\ sin4\varphi & cos4\varphi } [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi } [/mm] $,
[mm] <==>\pmat{ cos(14\varphi) & -sin(14\varphi) \\ sin(14\varphi) & cos(14\varphi) } \pmat{ cos(-14\varphi) & -sin(-14\varphi) \\ sin(-14\varphi) & cos(-14\varphi) } [/mm] $ * X * $ [mm] \pmat{ cos4\varphi & -sin4\varphi \\ sin4\varphi & cos4\varphi } \pmat{ cos(-4\varphi )& -sin(-4\varphi)\\ sin(-4\varphi) & cos(-4\varphi )}$ [/mm] = [mm] \pmat{ cos(14\varphi) & -sin(14\varphi) \\ sin(14\varphi) & cos(14\varphi) }$ \pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi }\pmat{ cos(-4\varphi )& -sin(-4\varphi)\\ sin(-4\varphi) & cos(-4\varphi )}
[/mm]
<==> [mm] X=\pmat{ cos(14\varphi) & -sin(14\varphi) \\ sin(14\varphi) & cos(14\varphi) }$ \pmat{ cos3\varphi & sin3\varphi \\ -sin3\varphi & cos3\varphi }\pmat{ cos(-4\varphi )& -sin(-4\varphi)\\ sin(-4\varphi) & cos(-4\varphi )}
[/mm]
[mm] =\pmat{ cos(14\varphi) & -sin(14\varphi) \\ sin(14\varphi) & cos(14\varphi) }\pmat{ cos3\varphi cos(-4\varphi )+sin3\varphi sin(-4\varphi)& - cos3\varphi sin(-4\varphi)+sin3\varphi cos(-4\varphi ) \\ -sin3\varphi cos(-4\varphi )+cos3\varphi sin(-4\varphi) & sin3\varphi sin(-4\varphi)+ cos3\varphi cos(-4\varphi )}
[/mm]
[mm] =\pmat{ cos(14\varphi) & -sin(14\varphi) \\ sin(14\varphi) & cos(14\varphi) }\pmat{ cos7\varphi & sin7\varphi \\ sin(-7\varphi) & cos7\varphi }
[/mm]
[mm] =\pmat{ cos(14\varphi) & -sin(14\varphi) \\ sin(14\varphi) & cos(14\varphi) }\pmat{ cos7\varphi & sin7\varphi \\ -sin(7\varphi) & cos7\varphi }
[/mm]
Nun noch die letzte Multiplikation...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Do 04.01.2007 | | Autor: | BWLDino |
Danke schön für die super Erklärung!
Ich habe jetzt folgendes raus: [mm] \pmat{ cos7\varphi & sin(-7\varphi) \\ sin7\varphi & cos7\varphi } [/mm]
Ich denke das müsste passen,
viele Grüße,
Dino
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> Danke schön für die super Erklärung!
> Ich habe jetzt folgendes raus: [mm]\pmat{ cos7\varphi & sin(-7\varphi) \\ sin7\varphi & cos7\varphi }[/mm]
>
> Ich denke das müsste passen,
Nachgerechnet habe ich es nicht, sieht aber ganz gut aus.
Etwas Kosmetik:
[mm] \pmat{ cos7\varphi & sin(-7\varphi) \\ sin7\varphi & cos7\varphi }=\pmat{ cos7\varphi & -sin(7\varphi) \\ sin7\varphi & cos7\varphi }
[/mm]
So hast Du eine richtig schöne - für jeden als solche zu erkennende - Drehmatrix dastehen, [mm] D_{7\varphi}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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