Matrizen: Basen,Kern und Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Di 17.01.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | Es sei f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen K-Vektorräumen.
i) Zeigen Sie: Es gibt Basen B von V und C von W, so dass die Abbildungsmatrix A(f, B, C) die Blockgestallt
[mm] \pmat{ I_n & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
hat.
ii) Beweisen Sie folgende Formel:
dim Kern(f) + dim Bild(f) = dim V. |
Also zu i):
Also ich weiß, dass A(f,B,C) die Abbildungsmatrix sein soll, die die Basis von V auf die Basis von W abbildet.
Ich raffe aber hier die Blockgestalt nicht. Was soll hier das [mm] I_n [/mm] und die Nullen
Also zu ii)
So viel ich weiß ist der Kern von f die Lösung aus der Gleichung
A*x=0
Leider weiß ich nicht was das Bild von f sein soll und komme bei der Gleichung deshalb nicht weiter.
Kann mir jemand sagen, ob meine Vermuttungen stimmen und mir eventuell weiterhelfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:14 Mi 18.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallöchen,
die zweite Aufgabe findest Du eigentlich in jedem vernünftigen Lineare Algebra-Buch, z.B. im Fischer auf S. 117/118 - oft allgemein für Fasern, aber der Kern ist ja nur die spezielle Faser über 0!
Liebe Grüße,
Matthias.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Edi1982!
Ich gebe dir mal zur ersten Aufgabe eine Handlungsanweisung:
1) Wähle eine Basis von $Kern(f)$.
2) Ergänze diese zu einer Basis $B$ von $V$.
3) Die Bilder der ergänzten Vektoren bilden eine Basis von $Bild(f)$.
4) Ergänze diese Basis zu einer Basis $C$ von $W$.
5) Stelle $f$ bezüglich der erhaltenen beiden Basen $B$ und $C$ dar.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Edi1982 |
Wie wähle ich den eine Basis von Kern(f)
Ich weis doch so gut wie garnicht über f. Nur das es eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen ist.
Wie kann ich da eine Basis bestimmen.
Und wie ergänze ich diese zu einer Basis B von V, wenn ich doch nicht über V weis, außer dass es ein endlichdimensionaler Vektorraum ist
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Hallo und guten Morgen,
Du kannst die Basis von Kern f zwar, wenn Du f nicht explizit gegeben hast, auch nicht explizit bestimmen, aber Du weisst ja, dass Kern f ein Untervektorraum von V ist und also solcher eine Basis hat. Die todo-Liste von Julius sollte Dich dann zum Erfolg bringen.
Sicher ist es fuer Dich dabei eine gute Uebung zum Verstaendnis, nachzuweisen, dass
dann die Bilder unter f der uebrigen Basisvektoren, die nicht im Kern liegen, nicht nur das Bild erzeugen, sondern sogar eine Basis bilden.
Gruss,
Mathias
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