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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Do 03.02.2005 | | Autor: | Gopal |
Liebe Leute,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich glaube das ist ganz einfach, aber ich komm irgendwie nicht drauf. Vieleicht kann mir jemand weiterhelfen?
geg:
f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] mit Matrix:
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
bzgl. der Basis (-1,1,0), (-1,0,1), (1,1,1) von [mm] \IR^{3}
[/mm]
ges.: Matrix von f bzgl. Standardbasis von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
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dazu muss ich doch das bild der basis als Linearkombination der Basis darstellen, um dann die Koeffizienten in díe Spalten der Matrix zu schreiben.
aber woher weiß ich, wie das bild der standardbasis aussieht?
dankbar für hilfe
gopal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 03.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo gopal!
Schauen wir uns mal an, wie du die erste Spalte der neuen Matrix (also die, wo die Abbildung bezüglich der Standardbasis gebildet werden soll) ausrechnen kannst.
Du findest Skalare [mm] $\lambda$, $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] mit
[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \nu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
dazu brauchst du ja nur ein $3 [mm] \times [/mm] 3$-LGS (Lineares Gleichungssystem) zu lösen.
Jetzt berechnest du $f [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, [/mm] indem du die Linearität ausnutzt, sowie die Tatsache, dass du die Bilder von $f$ bezüglich der gegebenen Basis aus der Matrixdarstellung ja ablesen kannst. Das geht dann so, ich deute es mal an:
$f [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \lambda \cdot [/mm] f [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \cdot [/mm] f [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \nu \cdot [/mm] f [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Diesen letzten Ausdruck, der ja ein dreidimensionaler Vektor ist, nachdem man [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] eingesetzt hat, ist der Koordinatenvektor bezüglich der Standardbasis. Ihn schreibst du in die erste Spalte der neuen Matrix.
Analog verfährst du bei den anderen Spalten.
Melde dich doch bitte einfach wieder und sage uns, ob alles klar ist oder ob du noch Fragen dazu hast. Du kannst uns deine Ergebnisse zur Korntolle gerne auch mitteilen. 
Liebe Grüße
Julius
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