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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Es sei A eine n x n Matrix und B eine m x m Matrix. Man beweise :
[mm] \vmat{ A & C \\ 0 & B } [/mm] = |A| * |B|
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mein Problem ist : Wie multipliziere ich 2 quadratische Matrizen ?
Ich habe es mit einem Beispiel versucht :
A := [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}
[/mm]
B := [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12}&b_{13} \\ b_{21} & b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}}
[/mm]
|A| * |B| = | [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] | * | [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12}&b_{13} \\ b_{21} & b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}}| [/mm] = ??
Kann mir vielleicht jemand helfen ?
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Hallo!
> Es sei A eine n x n Matrix und B eine m x m Matrix. Man
> beweise :
>
> [mm]\vmat{ A & C \\ 0 & B }[/mm] = |A| * |B|
>
> mein Problem ist : Wie multipliziere ich 2 quadratische
> Matrizen ?
Du musst hier nirgends 2 quadratische Matrizen multiplizieren!
Im Übrigen kannst du nxn-Matrizen nicht mit mxm-Matrizen multiplizieren, wenn [mm] n\not= [/mm] m.
|A| bezeichnet doch die Determinante der Matrix A.
Du sollst begründen, warum du die Determinante einer Blockmatrix der Form [mm] \vmat{ A & C \\ 0 & B } [/mm] einfach berechnen kannst, indem du |A| und |B| berechnest und diese dann multiplizierst.
Hinweis zum Beweis: Mit elementaren Zeilenumformungen der Typen
(i) Vertausche zwei Zeilen
(ii) Addiere das Vielfache einer Zeile auf eine andere Zeile
kannst du die Matrizen A und B innerhalb der Blockmatrix [mm] \vmat{ A & C \\ 0 & B } [/mm] auf Zeilenstufenform bringen.
Die Determinante einer quadratischen Matrix in Zeilenstufenform berechnet sich durch das Produkt der Diagonalelemente.
Grüße,
Stefan
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