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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:46 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Relationchip |
Folgende Aufgaben sind mein Problem:
Lösen sie die Gleichnung nach x auf und geben sie an unter welcher Bedingung genau eine Matrix x existiert.
a) 2BX +AD=C und 3BX-2D=A mit A,B,C bekannt, X,D unbekannt
b) [mm] (A-X)(A-X)-A^2=(A-X)(A-X)-2X^2+3E
[/mm]
c) AX1^-1 B^-1= (A^-1 - E)^-1
d) X=A^-1*XA
e) XB(A^-1XB)^-1=E
f) [mm] ((A-2X)^T B)^T [/mm] = [mm] B^T(A+X)-2B^T
[/mm]
Ich hoffe es kann mir jemand helfen da ich solche Aufgaben noch nie gelöst habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Max |
Du kannst theoretisch genauso vorgehen, als würde es sich um Gleichungen bzw. Gleichungssysteme mit Parametern statt Matrizen handeln. Dabei darfst du natürlich nur die Gleichung durch äquivalente Umformungen vereinfachen.
Wichtig ist jetzt nur, dass man es schafft die Matrix $X$ zu isolieren. Wichtig ist, dass man beachtet von welcher Seite Matrizen multiplieziert werden, da das Kommutativgesetz für Matrizen nicht gilt, d.h $AB [mm] \neq [/mm] BA$. Von daher muss man die inverse Matrizen auch von der entsprechende Seite aus auf die Gleichung anwenden. Man darf natürlich nicht dividieren sondern muss mit der inversen Matrix multiplizieren.
Mal als Beispiel die Gleichung $AXB+C=D+XB$. Es gilt:
$AXB+C=D+XB$
$AXB-XB=D-C$
[mm] $AX-X=(D-C)B^{-1}$
[/mm]
[mm] $(A-E)X=(D-C)B^{-1}$
[/mm]
[mm] $X=(A-E)^{-1}(D-C)B^{-1}$
[/mm]
Damit ist $X$ bei bekanntem $A,B,C$ bestimmbar. ($E$ ist Einheitsmatrix)
Ich hoffe das hilft dir etwas.
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Habe immernoch Probleme die anderen Aufgaben zu lösen. Wäre echt schön wenn mir jemand könnte denn geneuen Rechenweg angeben. Bin schon fast am verzweifeln weil ich es nicht hinbekomme.
Relationchip
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
$2BX +AD=C$ und $3BX-2D=A$ mit $A,B,C$ bekannt und $X,D$ unbekannt
Das sind Gleichungen für zwei gesuchte Matrizen. Man löst das ganze z.B. durch Additions-/Subtraktionsverfahren.
$2BX+AD=C$
$3BX-2D=A$
$6BX+3AD=3C$
$6BX-4D=2A$
$6BX+3AD=3C$
$3AD+4D=3C-2A$
Aus der letzten Gleichung kann man schon $D$ errechnen. Es gilt
$3AD+4D=3C-2A$
$(3A+4E)D=3C-2A$
[mm] $D=(3A+4E)^{-1}(3C-2A)$
[/mm]
Setzt man dies in die andere Gleichung ein erhält man:
[mm] $6BX+3A(3A+4E)^{-1}(3C-2A)=3C$
[/mm]
[mm] $6BX=3C-3A(3A+4E)^{-1}(3C-2A)$
[/mm]
[mm] $X=\frac{1}{6}B^{-1}\left(3C-3A(3A+4E)^{-1}(3C-2A)\right)$
[/mm]
Eventuell kann man die Terme für $D$ und $X$ noch vereinfachen, man muss aber die Rechenregeln für Matrizen beachten.
Leider bin ich nicht mehr so fit mit Matrizen - und habe keine Lust nachzusehen wie man diese vereinfacht.
Ich hoffe du hast jetzt schon mal eine Idee, was du machen musst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
[mm] $X=A^{-1}XA$
[/mm]
$AX=EXA$
$AX=XA$
Diese Gleichung ist nur dann erfüllt, wenn $A$ und $X$ miteinander vertauschbar sind, d.h.
[mm] $\mathbb{L}=\left\{ X | X \text{ ist vertauschbar mit } A\right\}$.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$XB(A^{-1}XB)^{-1}=E$
$XB=(A^{-1}XB)$
$X=A^{-1}X$
$0=A^{-1}X - X$
$0=\left(A^{-1}-E)X$
$ 0=X $
Damit muss $X$ die Nullmatrix sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Wenn es sich um die Aufgabe
[mm] $AX^{-1}B^{-1}=(A^{-1}+E)^{-1}$
[/mm]
handelt (bei dir ist eine 1 zu viel), gilt:
[mm] $A=(A^{-1}+E)^{-1}XB$
[/mm]
[mm] $\left(A^{-1}-E\right)A=XB$
[/mm]
$(E-A)=XB$
[mm] $(E-A)B^{-1}=X$
[/mm]
[mm] $B^{-1}-AB^{-1}=X$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
b)
Ich gehe mal davon aus, dass die Aufgabe die du gepostet hast falsch ist, d.h. vermutlich ein Schreibfehler, ich könnte mir vorstellen, dass einmal nicht die zweite, sondern die dritte binomische Formnel vorkommt, da ansonsten der Term mit [mm] $X^2$ [/mm] nicht wegfällt. Mir ist nicht bekannt, wie man quadratische Gleichungen mit Matrizen löst.
f)
Also, erstmal muss ich sagen, dass ich die transponierten Maztrizen hasse und auch keine Ahnung mehr habe ob es da besondere Tricks gibt. Ich würde analog vorgehen und sehr komplizierte Lösungen erhalten, ich denke dass man da mit Ahnung über transponierte Matrizen was leichteres finden könnte.
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