matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare AlgebraMatrizen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizen
Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrizen: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 So 16.01.2005
Autor: KingMob

Hallo!
Wie kann man zeigen, dass :
[mm] \{ A \in Mat (n \times n , K) ; AB = BA , \forall B \in Mat (n \times n , K) \} [/mm] = [mm] \{ \lambda * E_{n} ; \lambda \in K \} [/mm]
d.h. dass die quadratischen Matrizen, die mit allen anderen Matrizen kommutieren, genau die Vielfachen der Einheitsmatrix [mm] E_{n} [/mm] sind???

        
Bezug
Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mo 17.01.2005
Autor: DaMenge

Hi,

naja, wenn es für alle Matrizen B gelten soll, dann zeigst du das einfach so:
1) wenn irgendwo ein $ [mm] a_{ij}\not= [/mm] 0 $ ist mit $ [mm] i\not= [/mm] j $ ,dann konstruiere eine (nicht-symmetrische) Matrix B mit $ [mm] b_{ji}\not= b_{ij} [/mm] $ (und sonst evtl. 0) und betrachte mal AB und BA getrennt

2) gehe von einer Diagonalmatrix aus und betrachte o.E. $ [mm] a_{11}\not= a_{22} [/mm] $ und berechne dann mal eine entsprechende Matrix B von links und rechts dazu (z.B nur die vier elemente oben links ungleich 0 oder so...)

3)zeige, dass die angegebenen Matrizen die Eigenschaft auch tatsächlich erfüllen...

hoffe, es hilft dir etwas
DaMenge

Bezug
                
Bezug
Matrizen: Kommutativitaet regu. Matrizen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Fr 05.12.2008
Autor: neuling_hier

Aufgabe
Sei K Koerper, [mm] n\in\IN. [/mm] Sei A eine regulaere Matrix in K (d.h. aus der Menge [mm] GK^{n\times n}). [/mm]

Zeige: fuer alle [mm] \lambda\in K\setminus\{0\} [/mm] : [mm] A\neq \lambda\cdot I\Rightarrow\exists B\in GK^{n\times n} [/mm] : [mm] AB\neq [/mm] BA

Hallo liebes Forum,

auf der Suche nach einer Loesung der o.g. Kontraposition als Teilaussage eines Beweises stiess ich auf die hier bereits vor drei Jahren gestellte Frage, die jedoch nicht ganz vollstaendig beantwortet wurde.

Hat jemand das schonmal geloest ..? ;-)

Mein Beweis bislang:

Gelte also fuer alle [mm] \lambda\in K\setminus\{0\}, [/mm] dass [mm] A\neq \lambda\cdot [/mm] I.

Dann ist schonmal n > 1 , da sonst A = [mm] \pmat{0}\not\in GK^{n\times n}, [/mm] Widerspruch zur Vorraussetzung.

Ferner ist A dann keine Streckungsmatrix, d.h.
es ex. [mm] i,j\in\{1, \ldots n\} [/mm] mit [mm] i\neq [/mm] j und [mm] A_{ij}\neq [/mm] 0 (ein Element [mm] \neq [/mm] 0, das nicht auf der Diagonalen liegt), oder
es ex. [mm] i,j\in\{1, \ldots n\} [/mm] mit [mm] i\neq [/mm] j und [mm] A_{ii}\neq A_{jj} [/mm] (nicht alle Elemente auf der Diagonalen sind gleich).

Soweit, so klar. Aber wie muss man nun die Matrix B fuer jeden Fall waehlen, um die Kommutativitaet zu widerlegen, also um [mm] AB\neq [/mm] BA zu erhalten?

Ich habe fuer B die Einheitsmatrix I mit einigen vertauschten Zeilen betrachtet (also z.B. im Fall [mm] A_{ii}\neq A_{jj} [/mm] die Zeilen [mm] Z_i(I) [/mm] und [mm] Z_j(I) [/mm] vertauscht), aber das klappt nicht.

Kennt jemand die konkrete Konstruktion ..?

Bezug
                        
Bezug
Matrizen: Teilloesung fuer einen Fall
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Fr 05.12.2008
Autor: neuling_hier

Das mit dem Vertauschen der Vektoren der Einheitsmatrix im Fall [mm] A_{ii}\neq A_{jj} [/mm] klappt offenbar doch; damit werden in der Ergebnismatrix der Multiplikation AB die Spalten i,j bzw. bei BA die Zeilen i,j vertauscht, womit dann auch die Elemente [mm] A_{ii} [/mm] und [mm] A_{jj} [/mm] wie gewuenscht an vertauschten Positionen abgebildet werden.

Fehlt jetzt nur der Fall [mm] A_{ij}\neq [/mm] 0. Hilfreich waere, wenn man o.B.d.A. annehmen koennte, dass das Element [mm] A_{ij} [/mm] (das ja ungleich 0 ist) so gewaehlt werden kann, dass das Element [mm] A_{ji} [/mm] gleich 0 ist. Aber so ganz "o.B.d.A." ist das ja nicht, oder? :(

Bezug
                        
Bezug
Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Fr 05.12.2008
Autor: Vergil

Hallo!

Gehen wir mal von der Aufgabenstellung von vor drei Jahren aus. Betrachte eine [mm] n \times n[/mm] Matrix.
[mm] X := \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} [/mm], welche mit allen anderen Matrizen kommutiert.
Insbesondere muss diese Matrix mit den [mm] n \times n[/mm] Matrizen [mm] E_{i,j} [/mm] kommutieren. Dies sind die Matrizen, welche im Eintrag [mm] (i,j) [/mm] Eins und sonst Null sind. Folglich ergibt sich aus [mm] X \cdot E_{i,i} = E_{i,i} \cdot X [/mm] , dass für [mm] r \not= s [/mm] die Elemente [mm] a_{rs} = 0 [/mm] sind.
Nun muss die Matrix X auch mit den Matrizen [mm] E_{1,2} \; , \dots \; , E_{1,n} [/mm] kommutieren, dies führt auf [mm] a_{11} = a_{22} = \dots = a_{nn} [/mm] und damit ist die Behauptung gezeigt.

Hoffentlich hilft das!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]