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Hallo liebe leute,
wer kann mir bei folgender aufgabe helfen)
Sei K ein Körper, n [mm] \ge [/mm] 2, und sei μ : K^(n,n) −> K eine multiplikative
Funktion (d.h. es ist μ(AC) = μ(A)μ(C) für alle A,C [mm] \in [/mm] K^(n,n)), die weder konstant 0
noch konstant 1 ist. Man beweise:
A [mm] \in [/mm] K^(n,n) ist genau dann invertierbar, wenn μ(A) [mm] \not= [/mm] 0 ist.
danke im voraus,
eure melli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi melli,
wenn ich mich nicht irre, ist ...
EDIT: hier stand ein falsches Gegenbeispiel - siehe Secki's Beitrag unten..
Vielleicht hab ich deine Definition von multiplikativ falsch verstanden
oder hast du noch was vergessen ?
die "Hinrichtung" kann man jedoch beweisen:
zuerst zeige, dass für die Einheitsmatrix E gilt : $ [mm] \mu (E)=1_K [/mm] $
([einfach ausnutzen, dass $ [mm] \mu [/mm] (A) [mm] =\mu [/mm] (A*E) $ ist])
und dann ist $ [mm] 1=\mu (E)=\mu (A*A^{-1})=\mu (A)*\mu (A^{-1}) [/mm] $
dieses Produkt darf nicht Null werden, deshalb auch nicht $ [mm] \mu [/mm] (A) $
viele Grüße
DaMenge
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hallo DaMenge,
vielen dank für deine schnelle hilfe. habe nochmal die aufgabe mit meinen eintrag verglichen --> eingabe ist korrekt. mir ist leider dein lösungsansatz für die aufgabe noch nicht ganz schlüssig; könntest du mir vielleicht kurz zeigen nach welchem satz o.ä. auf du auf diesen ansatz gekommen bist?
liebe grüße,
melli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du willst doch zeigen:
A $ [mm] \in [/mm] $ K^(n,n) ist invertierbar $ [mm] \gdw\quad \mu (A)\not= [/mm] 0 $
"=>" : man zeigt leicht : $ [mm] 1=\mu (A)\cdot{}\mu (A^{-1}) [/mm] $
dann kann aber nicht $ [mm] \mu [/mm] (A)=0 $ (denn in K gilt 0*a=0), also $ [mm] \mu (A)\not= [/mm] 0 $
"<=" : hier hab ich oben ein gegenbeispiel gebracht
Du hast leider nicht gesagt, ob dies wirklich eins ist, oder ob ich dich missverstanden habe.
Sollte es eins sein, dann kann man natürlich "<=" nicht beweisen !
viele Grüße
DaMenge
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hallo DaMenge,
habe geschrieben, dass die Fkt nicht 0 und nicht 1 ist. damit hast du dann auch recht behalten.
vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Di 11.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Gegenbeispiel zur Rückrichtung: nimm die Standard 2x2
> Matrizen ausm [mm]\IR^2[/mm] und definiere: [mm]\mu (A)=1[/mm] für alle
> Matrizen außer der Nullmatrix und für die Nullmatrix setze
> die Funktion 0
> diese ist konstant und auch multiplikativ
Soll ja nicht so aussehen, als ob ich deine Artikel auf Fehler übperprüfe, aber:
Deine Funktion ist nicht multiplikativ. Du musst mindestens auch noch alle Nilpotenten Matrizen auf 0 setzen. Ob man dein Bsp retten kann sehe ich gerade nicht - soll heissen: ist die Funktion, wenn man sie auch nur auf nilpotente Matrizen mit 0 ausdehtn multiplikativ? Hmm, ich überleg mir gerade: wenn ich etwas mit den Elemenatrmatrizen (ale inv.bar , also bzgl. der Abb. >0) multiplizeire, kriege ich die Matriz auf Zeilenstufenform - wenn also die Zeilenstufenform eine nilpotente ist, dann ist deine Abb. auch 0 für diese Matrizen. Ws passiert eigtl., wenn die Nullmatrix einen Wert verschieden von 0 und 1 animmt? Wohl schnell ein Wdsp. zu [mm]0^2=0[/mm]. Bleibt also übrig: alle nicht inv.baren Matrizen auf Zstf, also welche die auf der Diagonale zwangsläufig 0er haben - und die inv.baren ja nicht.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mi 12.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Du hast vollkommen recht, SEcki !
vielen Dank für die Richtigstellung !
mal überlegen, ob es nicht einen schöneren Beweis gibt - obwohl ich auch schon an Elementarmatrizen gedacht habe..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Mi 12.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Also, ich hab mir das jetzt nochmal überlegt und (kann gerad nicht schalfen ...) schreibe kurz die Ideen zum Beweis der Rückrichtung:
Man nenne die multiplikative Funktion einfach mal m. Sie ist weder konstant 1 noch konstant 0. Daher ist [mm]m(E_n)=1[/mm] und [mm]m(0)=0[/mm] (erste 0 ist Nullmatrix). (Zweites folgt aus : [mm]\exits K:m(K)\ne 1\wedge m(0)=1\Rightarrowm(K)=m(K)*m(0)=m(0)[/mm].
Weiter: alle nilpotenten Matrizen haben offenabr den gleichen Wert wie die Nullmatrix, nämlich 0. Für eine Matrix ist der Wert also dann 0, wenn man sie durch Multiplikation mit inv.baren Matrizen zu einer nilpotenten machen kann - das folgt dann alles aus der Multiplikativität.
Drittens: Man bringe eine nicht inv.bare Matrix in Zeilenstufenform - das geht durch Linksmultiplikation mit entsprechenen inv.baren Matrizen. Dann kann man ebenso Spaltenumformungen machen - die Rechtsmultiplikation mit den gleichen Matrizen wie oben. Und wie man das bei einer Zstf macht, so dass dann eien nilpotente herauskommt, ist eigltich klar, wenn man sich das mal aufmalt - erst "Schmutz" wegräumen, und dann die übrigen Elemente geschickt nach rechtsschieben - und man erhält eine Matrix mit lauter 0en auf de rDiagonale.
Also ist die Behauptung des OP doch wahr - hoffe ich zumindest
Übrings: Deine Beispielmatrix lässt sich ja sehr leicht auf eine nilpotente Form bringen durch eine Spaltenumformung.
SEcki
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