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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Di 20.12.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo Ihr!
Mal ne kleine Frage:
Ich soll alle Elemente der [mm] GL_{3}(0,1) [/mm] bestimmen. (Hoffe die Schreibweise isch klar)
Also, die insgesamte Zahl der 3 kreuz 3 Matrizen mit Einträgen 0 oder 1 ist ja
(2*2*2)*(2*2*2)*(2*2*2) = 512
denk ich!
Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich systematisch die Zahl derer, die nicht invertierbar sind rausfiltre!
Kann mir da jemand helfen?
Wäre nett!
Vlg, Kübi
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Hallo,
die Elemente von GL3(0,1) bilden Basen auf Basen ab, und der
Vorteil ist, dass der [mm] GF[2]^3 [/mm] nicht so viele Basen haben sollte.
Man koennte alle diese (bis auf Perm. der drei Basisvektoren) bestimmen
und dann entsprechend die Elemente von [mm] GL_3(0,1) [/mm] bestimmen, zumindest die
Kardinalitaet dieser Gruppe sollte sich dann gut ergeben.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Di 20.12.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo nochmal!
Danke für die Antwort, aber leider versteh ich in ihr nur Bahnhof! 
Lg, Kübi
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Hallo!
> Danke für die Antwort, aber leider versteh ich in ihr nur
> Bahnhof!
Also, vielleicht ist das im Prinzip das Gleiche, was Mathias meint, aber ich würde da so vorgehen:
Eine Matrix ist doch genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat, oder nicht? Also müssen wir nur Matrizen suchen, die vollen Rang haben, und das dürften bei [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen nicht allzu viele sein. Als erstes stellen wir fest, dass wir keine Nullzeile haben dürfen, denn der Nullvektor ist ja linear abhängig, also hätten wir dann höchstens noch Rang 2 und das wäre kein voller Rang mehr. Dann haben wir als einfachste Möglichkeit natürlich die Einheitsmatrix. Da haben wir in jeder Zeile genau eine 1. Die Zeilen können wir aber beliebig permutieren, also z. B. hat auch die Matrix [mm] \pmat{1&0&0\\0&0&1\\0&1&0} [/mm] vollen Rang. Es ergeben sich insgesamt für diese Permutationen 3!=6 unterschiedliche Matrizen. Diese hätten wir also schon mal.
Nun musst du dir noch überlegen, welche Möglichkeiten es gibt, wenn mehr als eine 1 in einer Zeile hast. Zum Beispiel hätte auch die Matrix [mm] \pmat{1&0&1\\0&0&1\\0&1&0} [/mm] vollen Rang. Und weiter habe ich im Moment keine Lust zu überlegen, aber das Prinzip dürfte klar sein, oder?
Und falls du vor lauter Einsen und Nullen keine Ränge mehr siehst - ![[]](/images/popup.gif) hiermit kannst du Determinanten berechnen und somit feststellen, ob die Matrix invertierbar ist, und alternativ kannst du dir hiermit direkt die Inverse berechnen lassen.
Viele Grüße und viel Spaß beim Überlegen 
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Mi 21.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Kuebi!
Sicherlich kannst du mir meiner Antwort hier, gegeben vor über einem Jahr, etwas anfangen, denn dort leite ich eine explizite Formel her.
Das ist aber (natürlich) genau die Idee von Mathias und Christiane...
Liebe Grüße
Stefan
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