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Hallo Zusammen,
| Aufgabe | | Seien $B [mm] \in \left(m \times n, \IK\right)$ [/mm] und [m]A \in \left(m \times m, \IK\right)[/m] mit $m [mm] \ge [/mm] n$ und [mm] $\operatorname{rang}\left(B\right) [/mm] = n$. [mm] $A\!$ [/mm] ist symmetrisch und positiv definit. Zeige, daß $B^TAB$ positiv definit ist. |
Ich habe versucht, [mm] $B\!$ [/mm] und [mm] $A\!$ [/mm] erstmal allgemein auszuschreiben und dann tatsächlich auszumultiplizieren mit dem Ergebnis, daß ich am Ende eine riesige Matrix auf dem Blatt hatte, bei der alle Einträge große Summen waren. Daran konnte ich dann gar nichts mehr erkennen.
Vielleicht kann mir jemand einen ersten Tip geben. Vielen Dank!
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl!
Wenn ich mich nicht täusche, sollte das so zu beweisen sein:
Zunächst ist ja [mm] $B^T [/mm] AB [mm] \in [/mm] (n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IK)$. [/mm] Sei nun also $x [mm] \in \IK^n$ [/mm] beliebig, aber $x [mm] \not=0$. [/mm] Dann gilt:
1.) $y:=Bx [mm] \in \IK^m$, [/mm] $y [mm] \not=0$ [/mm] (Warum?)
2.) [mm] $y^T=(Bx)^T=x^TB^T \in [/mm] (1 [mm] \times [/mm] m, [mm] \IK)$.
[/mm]
Daraus folgt:
[m]\underbrace{x^TB^T}_{=y^T}A\underbrace{Bx}_{=y}=y^TAy[/m], was $>0$, wegen der positiven Definitheit von $A$ und wegen $y [mm] \not=0$, [/mm] ist! Die einzige Frage, die du noch beantworten solltest:
Warum kann dieses $y$ nicht $=0 [mm] \in \IK^m$ [/mm] sein?
PS: Keine Garantie auf Richtigkeit, ich habe einfach mal wild drauf losgerechnet  !
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Ergänzung:
Soweit ich mich erinnere, wurde zumindest bei uns der Begriff der Positiven Definitheit nur für symmetrische Matrizen definiert. Daher geht in meiner Rechnung auch die Symmetrie von $A$ ein!
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Hallo Marcel,
Zunächst einmal danke für deine Antwort und entschuldige, daß
ich so spät nachfrage.
> Wenn ich mich nicht täusche, sollte das so zu beweisen
> sein:
> Zunächst ist ja [mm]B^T AB \in (n \times n, \IK)[/mm].
Warum ist das denn eine $n [mm] \times n\text{-Matrix}$? [/mm] A hat m Zeilen B hat n Spalten. Als Ergebnis kommt eine $m [mm] \times n\text{-Matrix}$ [/mm] raus?
Jetzt multiplizieren wir [mm] $B^T$ [/mm] mit $AB$. Und warum kommt jetzt nicht wieder eine $m [mm] \times n\text{-Matrix}$ [/mm] raus?
> Sei nun also
> [mm]x \in \IK^n[/mm] beliebig, aber [mm]x \not=0[/mm]. Dann gilt:
> 1.) [mm]y:=Bx \in \IK^m[/mm], [mm]y \not=0[/mm] (Warum?)
Ok, also wir multiplizieren Zeile mal Spalte. Und gehen alle Zeilen von B durch. Und da das ja m Zeilen sind, besteht auch der Ergebnisvektor aus m Zeilen.
> 2.) [mm]y^T=(Bx)^T=x^TB^T \in (1 \times m, \IK)[/mm].
Na ja, sollte wohl klar sein. Ich glaube, ich rechne nochmal nach.
> Daraus folgt:
> [m]\underbrace{x^TB^T}_{=y^T}A\underbrace{Bx}_{=y}=y^TAy[/m], was
> [mm]>0[/mm], wegen der positiven Definitheit von [mm]A[/mm] und wegen [mm]y \not=0[/mm],
> ist! Die einzige Frage, die du noch beantworten solltest:
> Warum kann dieses [mm]y[/mm] nicht [mm]=0 \in \IK^m[/mm] sein?
Hmm, wegen der positiven Definitheit, oder?
Na ja, ich versuch's morgen nochmal. (Lerne nämlich gerade für eine andere Klausur. :( )
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Do 17.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl!
> Hallo Marcel,
>
> Zunächst einmal danke für deine Antwort und entschuldige,
> daß
> ich so spät nachfrage.
>
> > Wenn ich mich nicht täusche, sollte das so zu beweisen
>
> > sein:
> > Zunächst ist ja [mm]B^T AB \in (n \times n, \IK)[/mm].
>
> Warum ist das denn eine [mm]n \times n\text{-Matrix}[/mm]? A hat m
> Zeilen B hat n Spalten. Als Ergebnis kommt eine [mm]m \times n\text{-Matrix}[/mm]
> raus?
> Jetzt multiplizieren wir [mm]B^T[/mm] mit [mm]AB[/mm]. Und warum kommt jetzt
> nicht wieder eine [mm]m \times n\text{-Matrix}[/mm] raus?
Ich habe das so überlegt (vgl. mit https://matheraum.de/read?i=44978):
Wenn $B$ eine $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix ist, dann ist [mm] $B^T$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix.
Wenn du die nun mit der $m [mm] \times [/mm] m$-Matrix $A$ multiplizierst, dann ist [m]B^T*A[/m] eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix. Wenn du nun [mm] $B^T*A$ [/mm] mit $B$ multiplizierst, also eine [m]n \times m[/m]-Matrix mit einer $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix, dann ist das Ergebnis eine [m]n \times n[/m]-Matrix, also:
[mm] $B^T [/mm] AB$ ist eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix!
Jetzt klar(er)?
(Du kannst dir natürlich auch überlegen, dass [mm] $B^T$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix ist und das $AB$ eine $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix ist. Dann ist [mm] $B^T [/mm] AB$ eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix!)
>
> > Sei nun also
> > [mm]x \in \IK^n[/mm] beliebig, aber [mm]x \not=0[/mm]. Dann gilt:
> > 1.) [mm]y:=Bx \in \IK^m[/mm], [mm]y \not=0[/mm] (Warum?)
>
> Ok, also wir multiplizieren Zeile mal Spalte. Und gehen
> alle Zeilen von B durch. Und da das ja m Zeilen sind,
> besteht auch der Ergebnisvektor aus m Zeilen.
>
> > 2.) [mm]y^T=(Bx)^T=x^TB^T \in (1 \times m, \IK)[/mm].
>
> Na ja, sollte wohl klar sein. Ich glaube, ich rechne
> nochmal nach.
>
> > Daraus folgt:
> > [m]\underbrace{x^TB^T}_{=y^T}A\underbrace{Bx}_{=y}=y^TAy[/m],
> was
> > [mm]>0[/mm], wegen der positiven Definitheit von [mm]A[/mm] und wegen [mm]y \not=0[/mm],
>
> > ist! Die einzige Frage, die du noch beantworten
> solltest:
> > Warum kann dieses [mm]y[/mm] nicht [mm]=0 \in \IK^m[/mm] sein?
>
> Hmm, wegen der positiven Definitheit, oder?
Nein, das haben wir doch schon verwendet. Aber es gibt eine Aussage über den Rang von $B$, die wir noch nicht verwendet haben! Also wird's wohl daran liegen!
Ich habe übrigens in meinem Buch zur Linearen Algebra einen Satz gefunden, der genau das impliziert, nämlich das hier $y [mm] \not=0$ [/mm] gilt. Das ist auch wichtig, denn andernfalls hätten wir nur die "Positiv-Semidefinitheit" von [mm] $B^T [/mm] AB$ gezeigt!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Do 17.02.2005 | | Autor: | Marcel |
> Na ja, ich versuch's morgen nochmal. (Lerne nämlich gerade
> für eine andere Klausur. :( )
Ich wünsche dir viel Erfolg in deiner Klausur! 
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
> Sei nun also
> [mm]x \in \IK^n[/mm] beliebig, aber [mm]x \not=0[/mm]. Dann gilt:
> 1.) [mm]y:=Bx \in \IK^m[/mm], [mm]y \not=0[/mm] (Warum?)
Warum $Bx [mm] \in \IK^m$ [/mm] und $y [mm] \ne [/mm] 0$ sein muß, habe ich schon begründet. [mm] $x\!$ [/mm] ist per Definition [mm] $\ne [/mm] 0$. Angenommen ich wende den Gauss-Algorithmus auf [mm] $Bx\!$ [/mm] an. Dann erhalte ich ein System, welches wegen [mm] $\operatorname{rang}(B) [/mm] = n$ in ihren ersten [mm] $n\!$ [/mm] Zeilen beliebige Einträge haben kann. Die restlichen [mm] $m-n\!$ [/mm] Zeilen müssen Nullen enthalten. Multipliziert man es aus, wird klar, daß auch [mm] $y\!$ [/mm] in seinen ersten [mm] $n\!$ [/mm] Zeilen Einträge erhält, die nicht zwingend 0 sind. Die restlichen [mm] $m-n\!$ [/mm] Einträge von [mm] $y\!$ [/mm] sind hingegen Nullen. Damit ist [mm] $y\!$ [/mm] aber insgesamt trotzdem [mm] $\ne [/mm] 0$.
> 2.) [mm]y^T=(Bx)^T=x^TB^T \in (1 \times m, \IK)[/mm].
>
> Daraus folgt:
> [m]\underbrace{x^TB^T}_{=y^T}A\underbrace{Bx}_{=y}=y^TAy[/m], was
> [mm]>0[/mm], wegen der positiven Definitheit von [mm]A[/mm] und wegen [mm]y \not=0[/mm],
> ist!
Im Grunde hast Du $B^TAB$ so durch das [mm] $y\!$ [/mm] verwendet, daß du gerade die Definition der positiven Definitheit einer Matrix erhalten hast, richtig? Das ist jetzt eine Art Doppelargument: Einerseits ist [m]y^TAy > 0[/m] gerade die Definition für positive Definitheit. Andererseits gilt das aber auch für [mm] $x^T\dots [/mm] x > 0$.
Was ist eigentlich, wenn man noch die Symmetrie von $B^TAB$ nachweisen möchte. Gibt es da eventuell einen hilfreichen Satz?
Danke!
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Do 17.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl!
> > Sei nun also [mm]x \in \IK^n[/mm] beliebig, aber [mm]x \not=0[/mm]. Dann gilt:
> > 1.) [mm]y:=Bx \in \IK^m[/mm], [mm]y \not=0[/mm] (Warum?)
> Warum $Bx [mm] \in \IK^m$ [/mm] und $y [mm] \ne [/mm] 0$ sein muß, habe ich schon begründet. [mm] $x\!$ [/mm] ist per Definition [mm] $\ne [/mm] 0$. Angenommen ich wende den Gauss-Algorithmus auf [mm] $Bx\!$ [/mm] an. Dann erhalte ich ein System, welches wegen [mm] $\operatorname{rang}(B) [/mm] = n$ in ihren ersten [mm] $n\!$ [/mm] Zeilen beliebige Einträge haben kann. Die restlichen [mm] $m-n\!$ [/mm] Zeilen müssen Nullen enthalten. Multipliziert man es aus, wird klar, daß auch [mm] $y\!$ [/mm] in seinen ersten [mm] $n\!$ [/mm] Zeilen Einträge erhält, die nicht zwingend 0 sind. Die restlichen [mm] $m-n\!$ [/mm] Einträge von [mm] $y\!$ [/mm] sind hingegen Nullen. Damit ist [mm] $y\!$ [/mm] aber insgesamt trotzdem [mm] $\ne [/mm] 0$.
So kann man auch argumentieren, denke ich. Ich habe hier folgenden Satz stehen:
Für $A [mm] \in \IK^{m \times n}$ [/mm] (dieses $A$ ist natürlich in deiner Aufgabe das $B$) ist der Lösungsraum des linearen Gleichungssystems $A*x=0$ ein linearer Unterraum von [mm] $\IK^n$ [/mm] mit der Dimension [m]\dim=n-rang(A)[/m].
D.h. bei dir speziell:
Die Dimension des Lösungsraums von $B*x=0$ hat die Dimension [mm] $\dim=n-n=0$, [/mm] also ist der Lösungsraum der Gleichung $B*x=0$ nur der Nullraum [mm] $\{0 \in \IK^n\}$. [/mm] Da aber $x [mm] \not=0$ [/mm] war, ist auch [mm] $y=B*x\not=0$.
[/mm]
> > 2.) [mm]y^T=(Bx)^T=x^TB^T \in (1 \times m, \IK)[/mm].
> >
> > Daraus folgt:
> > [m]\underbrace{x^TB^T}_{=y^T}A\underbrace{Bx}_{=y}=y^TAy[/m], was
> > [mm]>0[/mm], wegen der positiven Definitheit von [mm]A[/mm] und wegen [mm]y \not=0[/mm],
> > ist!
> Im Grunde hast Du $B^TAB$ so durch das [mm] $y\!$ [/mm] verwendet, daß du gerade die Definition der positiven Definitheit einer Matrix erhalten hast, richtig?
Wenn ich diesen Satz richtig interpretiere: Ja! Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe. Ich habe halt das $y$ so gewählt (und meine Rechnung zeigt auch, dass ich das durfte), dass man die positive Definitheit von $A$, die ja vorausgesetzt war, ausnutzen kann...
> Das ist jetzt eine Art
> Doppelargument: Einerseits ist [m]y^TAy > 0[/m] gerade die
> Definition für positive Definitheit.
Naja, da $A$ positiv definit war und weil $y [mm] \not=0$ [/mm] ist, ist ja dann $y^TAy > 0$...
> Andererseits gilt
> das
> aber auch für [mm]x^T\dots x > 0[/mm].
Das verstehe ich nicht. Also, dass [mm] $x^T (B^T [/mm] A B) x >0$ für alle $x [mm] \not=0$ [/mm] gilt, haben wir ja nachzuweisen. Und das ergibt sich eben mit der positiven Definitheit der Matrix $A$ (und der Voraussetzung an den Rang der Matrix $B$). Wäre $A$ nicht pos. definit, so könnten wir den Schluß [mm] $y^T [/mm] A y > 0$ ja gar nicht machen. Und wäre $Rang B$ nicht so wie vorausgesetzt, so könnte $y$ evtl. die $0 [mm] \in \IK^m$ [/mm] sein, und wir könnten nur auf [mm] $y^T [/mm] A y [mm] \red{\ge} [/mm] 0$ schließen...
> Was ist eigentlich, wenn man noch die Symmetrie von $B^TAB$ nachweisen möchte. Gibt es da eventuell einen hilfreichen Satz?
Na, es gilt doch für alle Matrizen $X,Y$ (wenn das Produkt $X*Y$ definiert ist):
(i) [mm] $(X*Y)^T=Y^T*X^T$.
[/mm]
(ii) [mm] $(X^T)^T=X$.
[/mm]
So, du hast jetzt nachzurechnen:
[mm] $(B^T [/mm] A [mm] B)^T=B^T [/mm] A B$
(Eine Matrix $Z$ ist ja symmetrisch, falls [mm] $Z^T=Z$ [/mm] gilt!)
Wie macht man das? Man wendet die eben erwähnten Regeln (i) und (ii) auf den Ausdruck:
[mm] $(B^T [/mm] A [mm] B)^T$
[/mm]
an und formt um, bis am Ende der Gleichung [mm] $B^T [/mm] A B$ da steht. Probierst du das mal?
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo Marcel,
> So, du hast jetzt nachzurechnen:
> [mm](B^T A B)^T=B^T A B[/mm]
> Probierst du das mal? (*)
[m]\begin{gathered}
\left( {B^T AB} \right)^T \mathop = \limits^{{\text{Assoziativgesetz}}} \left( {\left( {B^T A} \right)B} \right)^T \mathop = \limits^{\left( i \right)} B^T \left( {B^T A} \right)^T \mathop = \limits^{\left( i \right)} \hfill \\
B^T A^T \left( {B^T } \right)^T \mathop = \limits^{\left( {ii} \right)} B^T A^T B\mathop = \limits^{\text{A ist symmetrisch }\Rightarrow A^T = A} B^T AB\quad\square \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Ist das so richtig?
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 3 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 17.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl,
> [m]\begin{gathered}
> \left( {B^T AB} \right)^T \mathop = \limits^{{\text{Assoziativgesetz}}} \left( {\left( {B^T A} \right)B} \right)^T \mathop = \limits^{\left( i \right)} B^T \left( {B^T A} \right)^T \mathop = \limits^{\left( i \right)} \hfill \\
> B^T A^T \left( {B^T } \right)^T \mathop = \limits^{\left( {ii} \right)} B^T A^T B\mathop = \limits^{\text{A ist symmetrisch }\Rightarrow A^T = A} B^T AB\quad\square \hfill \\
> \end{gathered}[/m]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja, alles korrekt!
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Marcel,
Danke für deine Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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