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Hallo,
haben die folgende Aufgabe aufbekommen, aber ich komm damit nicht klar und weiß nicht wie ich es anstellen soll um eine Lösung rauszubekommen. Wäre sehr dankbar über Hilfe.
>> Gegeben ist die Matrixdarstellung X= [mm] \begin{pmatrix}
- \bruch{12}{13} & - \bruch{5}{13} \\
- \bruch{5}{13} & \bruch{12}{13}
\end{pmatrix} [/mm] * x einer affinene Abbildung.
Weisen Sie nach, dass es sich bei der Abbildung um eine Spiegelung ane iner Ursprunggraden handelt, und bestimmen Sie die Spiegelachse rechnerisch.
Danke im Vorraus....
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> Hallo,
> haben die folgende Aufgabe aufbekommen, aber ich komm damit
> nicht klar und weiß nicht wie ich es anstellen soll um eine
> Lösung rauszubekommen. Wäre sehr dankbar über Hilfe.
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> >> Gegeben ist die Matrixdarstellung X= [mm]\begin{pmatrix}
- \bruch{12}{13} & - \bruch{5}{13} \\
- \bruch{5}{13} & \bruch{12}{13}
\end{pmatrix}[/mm]
> * x einer affinene Abbildung.
> Weisen Sie nach, dass es sich bei der Abbildung um eine
> Spiegelung ane iner Ursprunggraden handelt, und bestimmen
> Sie die Spiegelachse rechnerisch.
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Weisst Du was Eigenwerte und Eigenvektoren sind? Wenn ja: bestimme die Eigenwerte. Wenn es sich um eine Geradenspiegelung handelt, dann müssen $1$ und $-1$ Eigenwerte sein. Bestimme dann einen Eigenvektor zum Eigenwert $1$: dies ist gerade der Richtungsvektor der Spiegelungsgeraden. Prüfe dann noch, ob ein zur Spiegelungsgeraden senkrechter Vektor in seinen Gegenvektor abgebildet wird. (oder, andere Möglichkeit, zeige, dass der Eigenraum zum Eigenwert $-1$ senkrecht zum Eigenraum zum Eigenwert $1$ steht).
Falls Du von Eigenwerten und Eigenvektoren noch nichts gehört haben solltest, dann kannst Du einen Richtungsvektor der Spiegelungsgeraden als Lösung der Gleichung [mm] $A\vec{x}=\vec{x}$ [/mm] bestimmen (wobei $A$ die obige Abbildungsmatrix sei): denn alle Richtungsvektoren der Spiegelungsgeraden müssen bei der Spiegelung auf sich selbst abgebildet werden. Dann musst Du noch zeigen, dass jeder zur Spiegelungsachse senkrecht stehende Vektor von $A$ auf seinen Gegenvektor abgebildet wird.
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