Matrixumformung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich muss die 4x4 Matrix A:=[<0,1,1,1>|<2,0,1,1>|<2,2,0,1>|<2,2,2,0>] durch Zeilenumformung in die Matrix B:=[<0,1,0,0>|<2,0,0,0>|<0,0,0,1>|<0,0,2,0>] umformen.
Analog muss ich die 4x4 Einheitsmatrix auch umformen,damit ich die gesuchte Transformationsmatrix T bekomme. |
Hallo!
Ich muss die obige Aufgabe lösen. Leider versuche ich schon seit Stunden die Matrix A so umzuformen, damit ich die Matrix B herausbekomme. Bin aber bis jetzt noch nicht auf das Ergebnis gekommen.
Ich wäre euch wirklich dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könnt. Ich muss dieses Beispiel leider schon morgen am Nachmittag haben und bin schon total verzweifelt =(
Glg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Matrixumformung
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Hallo
Ich verstehe jetzt nicht ganz... Versuchst du von Anfang an diese Matrix B so zu bekommen wie sie angegeben ist?
Du kannst ja deine Matrix A auf die Einheitsmatrix reduzieren, dann Zeilenvertauschungen vornehmen und schliesslich deine Zeilen in denen eine 2 stehen muss mit dem Faktor 2 multiplizieren...
Doch dein Problem scheint zu sein, die Matrix auf die Einheitsmatrix zu reduzieren, oder?
Das ist der ganz normale Gauss-Algorithmus. Ich habe zuerst alle 2er-Zeilen halbiert und dann den Algorithmus angewandt. Es geht wunderbar.. :)
Wo steckst du denn?
Grüsse, Amaro
p.s: Meine Matrix sieht vor Beginn der Rückwertseliminierung so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\bruch{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{5}{2} }
[/mm]
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Hallo!
Also vielleicht war meine Erklärung nicht ganz so eindeutig:
Ziel ist die Berechnung der Transformationsmatrix T :
Um diese zu bekommen muss ich die Matrix A : $ [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 & 2 \\1 & 0 & 2& 2 \\ 1 & 1 &0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 } [/mm] $ so lange umformen, dass schlußendlich die Matrix B: $ [mm] \pmat{ 0 &2 & 0 & 0 \\ 1& 0& 0& 0 \\ 0 & 0 & 0& 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] $ herauskommt.
Diese Umformungsschritte muss ich dann auch auf die Einheitsmatrix E : $ [mm] \pmat{ 1 &0 & 0 & 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 &0& 1 } [/mm] $ anwenden, damit ich die Transformationsmatrix T erhalte.
War diese Erklärung jetzt verständlicher?
Glg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Di 16.06.2009 | | Autor: | schnaugerl |
Obwohl eigentlich könnte ich die Matrix A auf die Einheitsmatrixbringen und dann die Zeilen umtauschen und mit2 multiplizieren.
das selbe mach ich dann mit der Einheitsmatrix E und dann müsste ich wohl auch auf T kommen, ist zwar aufwendig aber vlt klappt es ja.
GLg
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Hallo
Ich habe zwar mit der Transponierten gerechnet (habe es falsch interpretiert), ist ja aber eigentlich das Selbe Prinzip... :) Du kannst ja einfach deine Matrix so lange umformen, bis du die Einheitsmatrix kriegst und dann so vertauschen, dass du die gesuchte Matrix B erhälst. Dann einfach alle Operationen auf deine Einheitsmatrix anwenden, um die Transformationsmatrix zu kriegen.
Ich führe die Operationen an deiner Matrix mal vor:
A = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 } \Rightarrow (Z1*\bruch{1}{2},Z2*\bruch{1}{2},Z3*\bruch{1}{2}): [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 \\ \bruch{1}{2} & 0 & 1 & 1 \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Z1-Z4, Z2-Z3, Z3 - [mm] \bruch{1}{2}Z4): [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\bruch{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\bruch{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 } \Rightarrow [/mm] (Z1*(-1), Z2*(-2), Z3*(-2)): = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Z4 - Z1 - Z2 - 3Z3): = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 7 } \Rightarrow [/mm] (Z4 * [mm] \bruch{1}{7}): [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Z1+Z4, Z3+2Z4): = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } \Rightarrow [/mm] (Z2+2Z3): = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow (Z1\gdw [/mm] Z2, [mm] Z3\gdw [/mm] Z4): = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } \Rightarrow [/mm] (Z1*2, Z3*2): = [mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] = B
Du musst jetzt die selben Operationen auf die Einheitsmatrix anwenden.. (sofern ich keine Fehler gemacht habe.. :))
Ist es das, was du meinst?
Viele Grüsse, Amaro
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Hallo!
Erstmals danke für deine Bemühungen.
Hab die Schritte jetzt an der Einheitsmatri angewendet.
Als Kontrolle gilt: B = T (transponiert) * T * A
und wenn ich das mache, dann kommt bei mir leider nicht B heraus.
Ich weiß wirklich nicht wo da der Fehler liegt =(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Di 16.06.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Hallo!
> Erstmals danke für deine Bemühungen.
> Hab die Schritte jetzt an der Einheitsmatri angewendet.
>
Könntest du die Matrix T mal rasch reinposten? Dann muss ich das nicht auch noch machen :)
> Als Kontrolle gilt: B = T (transponiert) * T * A
>
Bist du da sicher? Ist es nicht B = [mm] T^{t} [/mm] * A * T?
> und wenn ich das mache, dann kommt bei mir leider nicht B
> heraus.
> Ich weiß wirklich nicht wo da der Fehler liegt =(
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Di 16.06.2009 | | Autor: | schnaugerl |
T: $ [mm] \pmat{ \bruch{4}{7} & \bruch{6}{7} & 2 & \bruch{-20}{7}\\ \bruch{-3}{7}& \bruch{-1}{7}& 0 & \bruch{8}{7} \\ \bruch{1}{7} & \bruch{-2}{7} &0 & \bruch{2}{7} \\ \bruch{1}{7} & -\bruch{2}{7} & 1 & -\bruch{5}{7} } [/mm] $
B = T (transponiert) * A * T stimmt!
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> Hallo!
> Erstmals danke für deine Bemühungen.
> Hab die Schritte jetzt an der Einheitsmatri angewendet.
>
> Als Kontrolle gilt: B = T (transponiert) * T * A
>
> und wenn ich das mache, dann kommt bei mir leider nicht B
> heraus.
> Ich weiß wirklich nicht wo da der Fehler liegt =(
Den haben wir ja jetzt gefunden :)
B = [mm] T^{t}*A*T
[/mm]
Viele Grüsse, Amaro
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Leider kommt da auch nicht B heraus, hab die Kontrolle auch vorher schon richtig nachgerechnet, nur falsch gepostet.
Es kommt heraus: $ [mm] \pmat{ \bruch{-27}{49} & -\bruch{30}{49} & \bruch{2}{7} & \bruch{86}{49}\\ -\bruch{30}{49}& -\bruch{66}{49}& -\bruch{4}{7} & \bruch{150}{49} \\ -\bruch{2}{7} & -\bruch{17}{7} &6 & \bruch{10}{7} \\ \bruch{100}{49} & \bruch{171}{49} & -\bruch{10}{7} & -\bruch{402}{49} } [/mm] $
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Hallo
Nun, ich habe nochmals nachgerechnet.
Du hast ja sozusagen zwei Basen mit den Vektoren jeweils in den Matrizen A und B. Was du nun suchst, wäre die Transformationsmatrix von A nach B, richtig?
Nun, dafür musst du einfach ein Gleichungssystem lösen, bei welchem du die Matrizen A und B nebeneinander aufschreibst und dann die Matrix A auf die Einheitsmatrix umformst... Die rechte Matrix, die mal B war, ist die gesuchte Transformationsmatrix T.
Nun, die Kontrolle ist nicht [mm] T*A*T^{-1} [/mm] oder sonst was sondern einfach A*T = B.
Da liegt der Fehler.
Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Di 16.06.2009 | | Autor: | schnaugerl |
Ich glaub es liegt auch daran, dass ich alles mod 3 rechnen muss!
Das habe ich bei A, B und E ja schon gemacht, aber da bei meinem ausgerechneten T Bruchzahlen vorkommen, kann ich ja nicht mod 3 rechnen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Di 16.06.2009 | | Autor: | schnaugerl |
Vielleicht liegt es auch daran, dass mein Prof. das Beispiel nie durchgerechnet hat, und es somit garkeine Lösung gibt =)
Danke trotzdem
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