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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Sa 24.08.2013 | | Autor: | wlfbck |
| Aufgabe | Wir betrachten die lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}, [/mm] x [mm] \mapsto \mathcal{A}x, [/mm] wobei [mm] \mathcal{A}= \pmat{-3 & 4 & 6 \\ -2 & 1 & 4 \\ 2 & -2 & -4}.
[/mm]
Bestimmen Sie Basen der Vektorräume Kern f [mm] \subseteq \IR^{3} [/mm] und Bild f [mm] \subseteq \IR^{3}.
[/mm]
Geben Sie invertierbare Matrizen L,R [mm] \in GL_{3}(\IR) [/mm] an derart, dass [mm] L^{-1} [/mm] * A * R = [mm] \pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 }, [/mm] wobei [mm] E_{r} [/mm] die r x r-Einheitsmatrix bezeichnet und r = Rang A ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Basen des Kerns und des Bildes aufzustellen ist eigentlich kein Problem, da habe ich für den Kern:
(2,0,1)
Und für das Bild entweder über das Standardverfahren mit [mm] A^{T}:
[/mm]
(-3,-2,2) und (0,-5/3,2/3)
Oder selbst aufgestellt (über Skalarprodukt=0):
(0,1,0) und (-1,0,2)
Mein Problem mit der ersten Möglichkeit ist, das diese ja gar nicht orthogonal zum Kern sind?! Verrechnet haben sollte ich mich nicht, aber ist das denn trotzdem richtig?
Zum zweiten Part mit L,R fehlt mir leider jegliche Idee. Vielen Dank für Hilfe/Tipps im voraus! :)
PS: ein besserer Titel ist mir leider nicht eingefallen :(
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> Wir betrachten die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3},[/mm]
> x [mm]\mapsto \mathcal{A}x,[/mm] wobei [mm]\mathcal{A}= \pmat{-3 & 4 & 6 \\ -2 & 1 & 4 \\ 2 & -2 & -4}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie Basen der Vektorräume Kern f [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm]
> und Bild f [mm]\subseteq \IR^{3}.[/mm]
> Geben Sie invertierbare
> Matrizen L,R [mm]\in GL_{3}(\IR)[/mm] an derart, dass [mm]L^{-1}[/mm] * A * R
> = [mm]\pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 },[/mm] wobei [mm]E_{r}[/mm] die r x
> r-Einheitsmatrix bezeichnet und r = Rang A ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Basen des Kerns und des Bildes aufzustellen ist eigentlich
> kein Problem, da habe ich für den Kern:
> (2,0,1)
> Und für das Bild entweder über das Standardverfahren mit
> [mm]A^{T}:[/mm]
> (-3,-2,2) und (0,-5/3,2/3)
> Oder selbst aufgestellt (über Skalarprodukt=0):
> (0,1,0) und (-1,0,2)
>
> Mein Problem mit der ersten Möglichkeit ist, das diese ja
> gar nicht orthogonal zum Kern sind?!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe eher ein Problem mit Deiner zweiten Vorgehensweise: welcher Gedanke liegt dieser denn zugrunde?
Offenbar meinst Du, daß der Kern immer orthogonal zum Bild sein muß. Daß dieses aber nicht sein kann, wird Dir sicher klar, wenn Du mal drüber nachdenkst, wie die bei Abbildungen etwa aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^3 [/mm] funktionieren soll...
Du hast ausgerechnet, daß [mm] (\vektor{-3\\-2\\2},\vektor{0\\-5/3\\2\3}) [/mm] und [mm] (\vektor{0\\1\\0},\vektor{-1\\0\\2}) [/mm] Basen von KernA sind.
Es ist aber etwa [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] gar nicht in dem von [mm] (\vektor{-3\\-2\\2},\vektor{0\\-5/3\\2\3}) [/mm] erzeugten Raum, woran Du sehen kannst, daß hier etwas nicht stimmt.
> Verrechnet haben
> sollte ich mich nicht, aber ist das denn trotzdem richtig?
Ich habe es nicht nachgerechnet.
Wenn Du das getan hast, was ich Deinen Andeutungen entnehme, ist die erste Vorgehensweise richtig.
Die zweite ist falsch.
Möglicherweise ist Deine zweite Rechnung aber doch für irgendetwas gut...
> Zum zweiten Part mit L,R fehlt mir leider jegliche Idee.
Die Fragestellung dieser Teilaufgabe können wir auch anders formulieren:
Sag zwei Basen [mm] B:=(b_1,b_2,b_3) [/mm] und [mm] C:=(c_1, c_2, c_3), [/mm] so daß die Darstellungsmatrix von f bzgl der Basis B im Start- und C im Zielraum die Matrix [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0} [/mm] ist.
Du mußt also Basen B und C angeben, so daß
[mm] f(b_1)=c_1
[/mm]
[mm] f(b_2)=c_2
[/mm]
[mm] f(b_3)=0.
[/mm]
LG Angela
> Vielen Dank für Hilfe/Tipps im voraus! :)
>
> PS: ein besserer Titel ist mir leider nicht eingefallen :(
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