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| Aufgabe | Sei [mm] \IK^{m x n} [/mm] die Menge der m x n-Matrizen. Zeigen Sie, dass
[mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] definiert durch:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] := [mm] \sup{\parallel A * u \parallel, u \in \IK^{n}, \parallel u \parallel = 1} [/mm] auf [mm] \IK^{m x n} [/mm] eine Norm definiert. |
Um dies zu zeigen muss mann ja die 3 Normeigenschaften:
i) [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] X
ii) [mm] \parallel \lambda [/mm] * x [mm] \parallel [/mm] = [mm] |\lambda| [/mm] * [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] für alle [mm] \lambda \in \IK, [/mm] x [mm] \in [/mm] X
iii) [mm] \parallel [/mm] x + y [mm] \parallel \le \parallel \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] für alle x, y [mm] \in [/mm] X
ich habe nun angefangen diese für die obige Norm zu zeigen ... jedoch habe ich ja keine Vektoren sondern eine Matrix ... da kann ich ja nicht sagen, dass eine Matrix positiv oder negativ ist ... also weiß ich nicht genau wie ich i) zeigen kann ... könnt ihr mir helfen?
Viele Grüße sonja :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 So 20.05.2007 | | Autor: | alex42 |
Hallo Sonja,
zuerst musst du hier bedenken, dass es zwei verschiedene Normen gibt: Die hier definierte Matrixnorm und eine Vektornorm [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel_{V}$, [/mm] wobei
[mm] $\parallel [/mm] A [mm] \parallel_{} [/mm] := sup( [mm] \parallel [/mm] Au [mm] \parallel_{V}) [/mm] , [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel_{V} [/mm] = 1$ gilt.
Bei dieser Aufgabe musst du nun die Eigenschaften der Matrixnorm (die du ja zeigen willst) auf die Eigenschaften der Vektornorm zurückführen, von der du nur weißt, dass es eine Norm ist.
Ich hoffe, dass hilft dir ein wenig.
Und an welcher stelle musst/willst du denn sagen, dass eine Matrix positiv/negativ ist?
Gruß Alex
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