Matrixmultiplikation assoziati < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Di 20.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Zur Übung wollte ich mal die Assoziativität der Matrizenmultiplikation beweisen. Das das so ist, ist mir klar, da Matrizmultiplikation auf die "normale" Addition und Multiplikation zurückzuführen ist.
Nun bin ich etwas schreibfaul und möchte nicht 3 n [mm] \times [/mm] n Matrizen aufstellen und das alles ausrechnen - das müsste doch auch einfacher gehen.
Mein Ansatz dafür sieht so aus:
Jede Matrix kann auch eine lineare Abbildung repräsentieren, also z.B. folgendes:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm] = [mm] _{B}[f]_{B} [/mm] mit f als lineare Abbildung und B beliebiger Basen des Bildes von f bzw. des Urbildes. (nennt man so die Variable die ich in eine Funktion/Abbildung "hineinpacke"?)
Nun würde es doch reichen zu Beweisen, dass die Verknüpfung von drei linearen Abbildungen assoziativ ist oder?
Also sowas:
f: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n}, [/mm] g: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n}, [/mm] h: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n}
[/mm]
((f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h) (x) = (f(g) [mm] \circ [/mm] h)(x) = f(g(h(x)))
(f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)) (x) = (f [mm] \circ [/mm] g(h))(x) = f(g(h(x))) [mm] \Rightarrow [/mm] die Komposition von Abbildungen sind assoziativ [mm] \Rightarrow [/mm] Matrixmultiplikation ist assoziativ
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> Hi!
Hallo,
> Zur Übung wollte ich mal die Assoziativität der
> Matrizenmultiplikation beweisen. Das das so ist, ist mir
> klar, da Matrizmultiplikation auf die "normale" Addition
> und Multiplikation zurückzuführen ist.
> Nun bin ich etwas schreibfaul und möchte nicht 3 n [mm]\times[/mm]
> n Matrizen aufstellen und das alles ausrechnen - das müsste
> doch auch einfacher gehen.
> Mein Ansatz dafür sieht so aus:
>
> Jede Matrix kann auch eine lineare Abbildung
> repräsentieren.
Ja, als darstellende Matrix der linearen Abbildung.
> Nun würde es doch reichen zu Beweisen, dass die
> Verknüpfung von drei linearen Abbildungen assoziativ ist
> oder?
Genau!
> Also sowas:
> f: [mm]V \to W,[/mm] g: [mm]W \to X,[/mm] h: [mm]X \to Z[/mm]
[mm] \forall [/mm] V, W, X, Z Vektorräume
> ((f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\circ[/mm] h) (x) = (f(g) [mm]\circ[/mm] h)(x) = f(g(h(x)))
> (f [mm]\circ[/mm] (g [mm]\circ[/mm] h)) (x) = (f [mm]\circ[/mm] g(h))(x) =
> f(g(h(x)))
Ich denke den [mm] \IR^n [/mm] alleine zu betrachten ist nicht allgemein genug, aber das weiß ich nicht genau, da ja der [mm] \IR^n [/mm] eine Art "Prototyp" eines n dimensionalen Vektorraums darstellt (also ein Isomorphismus existiert).
Ich würde auch nicht so eine Art "w.A."-Beweis machen.
Ich denke ((f [mm]\circ[/mm] g) [mm]\circ[/mm] h) (x) = (f(g) [mm]\circ[/mm] h)(x) = f(g(h(x)))=(f [mm]\circ[/mm] g(h))(x)=(f [mm]\circ[/mm] (g [mm]\circ[/mm] h)) (x) ist ein wenig besser formuliert.
lg Kai
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