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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in [/mm] M( n [mm] \times [/mm] n , [mm] \IK) [/mm] eine Matrix mit der Eigenschaft, dass für alle [mm] B\in [/mm] M( n [mm] \times [/mm] n , [mm] \IK) [/mm] gilt
AB-BA=0 [mm] \in [/mm] M( n [mm] \times [/mm] n [mm] ,\IK)
[/mm]
Zeigen Sie: es gibt ein [mm] \lambda \in \IR [/mm] so dass A = [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{n} [/mm] |
Hallo.
Es soll ja gelten AB-BA=0 das ist ja zu dieser Gleichung äquivalent AB=BA nun ist aber die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ.
1. Das Produkt ist im jedenfall definiert da es quadratische Matrizen sind das ist mir klar.
Nun habe ich überlegt dass B evtl die inverse Matrix von A ist also [mm] B=A^{-1} [/mm] oder das A und B Diagonalmatrizen sind. dann gilt die kommutativität auch. Aber das Problem ist wie bringen mich meine Überlunegungen zu dem was ich zeigen soll nämlich dass ein [mm] \lambda \in \IR [/mm] existier s.d A= [mm] \lambda [/mm] * [mm] E_{n}???
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Hallo,
Du hast eine quadratische Matrix [mm] A:=(a_i_j), [/mm] welche mit sämtlichen qudratischen Matrizen vertauschbar sein soll.
Wenn das so ist, ist sie insbesonder mit den Matrizen [mm] B_i_j [/mm] vertauschbar, welche wie folgt definiert sind:
alle Einträge =0, lediglich an der Position ij ist der Eintrag =1.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Angela
danke für die schnelle antwort.
> Du hast eine quadratische Matrix [mm]A:=(a_i_j),[/mm] welche mit
> sämtlichen qudratischen Matrizen vertauschbar sein soll.
Mit vertauschbar nehme ich an dass du auf die Kommutativität hinaus willst.
>
> Wenn das so ist, ist sie insbesonder mit den Matrizen [mm]B_i_j[/mm]
> vertauschbar, welche wie folgt definiert sind:
>
> alle Einträge =0, lediglich an der Position ij ist der
> Eintrag =1.
Diese Definition habe ich noch nie gehört. An der Stelle ij ist der Eintrag 1, ok aber für welche i,j meinst du vielleicht für i=j?
Gruß
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> > Wenn das so ist, ist sie insbesonder mit den Matrizen [mm]B_i_j[/mm]
> > vertauschbar, welche wie folgt definiert sind:
> >
> > alle Einträge =0, lediglich an der Position ij ist der
> > Eintrag =1.
>
> Diese Definition habe ich noch nie gehört. An der Stelle ij
> ist der Eintrag 1, ok aber für welche i,j meinst du
> vielleicht für i=j?
Nein, ich meine den Eintrag an der Position i-te Zeile/j-te Spalte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Ok jetzt verstehe ich also sieht die matrix so aus:
A= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0.... 0 \\ 0 & 1 & 0 ....0 \\ ...& ....& ... \\ 0 & 0 & 0 .....0 } [/mm] ok?
Und nun gilt immer AB=BA Da dann A so definiert ist wie oben muss doch jetzt [mm] \lambda [/mm] immer 1 sein damit [mm] A=\lambda*E_{n} [/mm] gilt
Gruß
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> Ok jetzt verstehe ich also sieht die matrix so aus:
>
> A= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0.... 0 \\ 0 & 1 & 0 ....0 \\ ...& ....& ... \\ 0 & 0 & 0 .....0 }[/mm]
> ok?
???
Über die matrix A wissen wir doch nichts weiter, als daß es eine nxn-Matrix ist, welche mit sämtlichen anderen nxn-Matrizen vertauschbar ist. Wir wollen doch erst herausfinden, wie sie aufgrund dieser Eigenschaft aussehen muß!
A ist also [mm] A:=(a_i_j), [/mm] und die [mm] a_i_j [/mm] wollwn wir erst herausfinden.
Die Matrix oben wäre in meiner Bezeichnung die Matrix [mm] B_2_2,
[/mm]
und [mm] B_2_3 [/mm] wäre [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0.... 0 \\ 0 & 0 & 1 ....0 \\ ...& ....& ... \\ 0 & 0 & 0 .....0 },
[/mm]
und ensprechend für [mm] B_i_j [/mm] eine 1 an der Kreuzung v. i-ter Spalte und j-ter Zeile.
Da man A n.V. mit samtlichen Matrizen vertauschen kann, kann man sie auch mit all diesen [mm] (n^2 [/mm] Stück) [mm] B_i_j [/mm] vertauschen, und aus den jeweiligen Multiplikationen
[mm] AB_i_j=B_i_jA [/mm] erhältst Du Informationen darüber, wie die Einträge der Matrix A beschaffen sein müssen.
Wenn Du damit nicht klar kommst, führe die Aufgabe zunachst für die Matrix [mm] A:=\pmat{ a & b&c \\ d & e&f\\g&h&i } [/mm] durch.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mo 07.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Angela und Ullim!
Vielen Dank euch beiden. ihr habt mir sehr geholfen!!!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mo 07.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi Tyskie84,
mit der Definition von Angela für die Matrix B gilt
[mm] (AB)_{ij}=\summe_{i=1}^{n}A_{il}B_{lj}=A_{ii} [/mm] und
[mm] (BA)_{ij}=\summe_{i=1}^{n}B_{il}A_{lj}=A_{jj} [/mm] für alle i und j
Wegen AB = BA gilt also
A ist eine Diagonalmatrix und somit gilt [mm] A=\lambda{E}
[/mm]
mfg ulim
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