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| Aufgabe | Es seien [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] nilpotente [mm](n\times n)[/mm] Matrizen über [mm]\IR[/mm]. Man beweise oder widerlege:
[mm]\exp(A)*\exp(B)=\exp(A+B)[/mm] |
So also ich bin jetzt erstmal soweit gekommen:
Sei [mm]k[/mm] der maximal Nilpotenzgrad von [mm]A[/mm] bzw. [mm]B[/mm]. Dann haben wir
[mm]\exp(A+B)=
\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(A+B)^{n}}{n!}}=
\summe_{n=1}^{k}\bruch{(A+B)^{n}}{n!}}
=...=
\summe_{n=1}^{k}\bruch{A^{n}B^{n}}{n!}}=
\summe_{n=1}^{k}\bruch{A^{n}}{n!}
\summe_{n=1}^{k}\bruch{B^{n}}{n!}=\exp(A)*\exp(B)[/mm]
Ich bin mir nur sehr unsicher, ob ich das an der Stelle mit "..." einfach so rechnen kann...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] nilpotente [mm](n\times n)[/mm] Matrizen über [mm]\IR[/mm].
> Man beweise oder widerlege:
> [mm]\exp(A)*\exp(B)=\exp(A+B)[/mm]
> So also ich bin jetzt erstmal soweit gekommen:
> Sei [mm]k[/mm] der maximal Nilpotenzgrad von [mm]A[/mm] bzw. [mm]B[/mm]. Dann haben
> wir
> [mm]\exp(A+B)=
\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(A+B)^{n}}{n!}}=
\summe_{n=1}^{k}\bruch{(A+B)^{n}}{n!}}
=...=
\summe_{n=1}^{k}\bruch{A^{n}B^{n}}{n!}}=
\summe_{n=1}^{k}\bruch{A^{n}}{n!}
\summe_{n=1}^{k}\bruch{B^{n}}{n!}=\exp(A)*\exp(B)[/mm]
>
> Ich bin mir nur sehr unsicher, ob ich das an der Stelle mit
> "..." einfach so rechnen kann...
Hallo,
nein, kannst Du nicht, und auch der darauffolgende Schritt
> [mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{A^{n}B^{n}}{n!}=
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{A^{n}}{n!}
[/mm]
ist nicht richtig. Wie wolltest Du die Schritte begründen?
Bist Du Dir eigentlich sicher, daß die Beh., die Du zu beweisen versuchst, stimmt?
Hast Du sie mal an Beispielen nachgerechnet?
Z.B. mit [mm] A:=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, B:=\pmat{ 0 & 0 \\ 2 & 0 }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:22 So 01.07.2007 | | Autor: | Thommyh85 |
Hmmm, und wie könnte ich das ganze sonst beweisen? Einen anderen Ansatz wüsste ich nämlich nicht...
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> Hmmm, und wie könnte ich das ganze sonst beweisen? Einen
> anderen Ansatz wüsste ich nämlich nicht...
Hallo,
Du hast leider keine meiner Fragen aus dem vorhergehenden Post beantwortet, als da wären:
>> Wie wolltest Du die Schritte begründen?
Kannst Du z.B. [mm] (A+B)^2 [/mm] ausrechnen? Und [mm] (A+B)^3?
[/mm]
>> Hast Du sie [die Beh.] mal an Beispielen nachgerechnet?
Diese Frage diente eher als Stoß in eine bestimmte Richtung als zur Befriedigung meiner Neugierde.
Rechne mit den angegebenen Matrizen mal exp(A+B) und exp(A)exp(B) aus.
Gruß v. Angela
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