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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Sa 06.02.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | | 29. A sei eine reelle $n [mm] \times [/mm] n$–Matrix, [mm] $M\in \mathbb{R}$ [/mm] beliebig positiv. Beweisen Sie, dass im Raum der Matrizen [mm] $R^{n\times n}$ [/mm] die Reihe [mm] $\exp(Ax) :=\sum_{l\geq 0} A^{j} \frac{x^j}{j!}$ [/mm] gleichmäßig in $|x| [mm] \geq [/mm] M$ konvergiert. Erläutern Sie, was das mit Lösungen des Dgl.–Systems $y'=Ay $ zu tun hat. Gibt es Matrizen A , für welche alle Komponenten aller Lösungsfunktionen Polynome sind? Geben Sie ein nichttriviales Beispiel an! |
Hallo,
ich habe einen Frage zu der letzten Sache mit dem Beispiel, was genau meinen die damit, dass nur Polynome auftreten? Ich sollte vielleicht noch dazusagen, dass wir erst durch die Aufgabe mit dem Matrixexponential zu tun hatten, ich also noch keine Sätze oder dergleichen dazu kenne.
Ich habe gelesen, dass [mm] $\exp(A)$ [/mm] mit seinen Spalten ein Fundamentalsystem vom Lösungsraum bildet, d.h. schonmal, ich müsste es nur bei niedriger Dimension rauskriegen und könnte dann eine Aussage zu allen Lösungen treffen. Hättet ihr einen Tipp?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 06.02.2016 | | Autor: | hippias |
Was genau die meinen mit der letzten Sache mit dem Beispiel, dass da nur Polynome auftreten, kann ich auch nicht genau sagen. Aber ich vermute folgendes: $exp(Ax)$ ist eine Matrix, deren Einträge von $x$ abhängen. Daher kann man sich fragen, ob diese Einträge sämtlich Polynomfunktionen in $x$ sein können. Untersuche dies.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 06.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Gemeint ist folgendes: die Spalten von exp(xA) bilden ein Fundamentalsystem von $ y'=Ay $.
Du sollst ein Beispiel für A angegben, so dass die Spalten von exp(xA) nur Polynome enthalten.
FRED
P.S.: denke an eine nilpotente Matrix A.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 So 07.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
vielen Dank für eure Tipps, die haben mir sehr geholfen.
Noch einen schönen Sonntag,
Reynir
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