Matrixelemente < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:52 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Jenz |
| Aufgabe | | Welche Bedingungen müssen die Matrixelemente erfüllen, damit die Matrix a) genau zwei Eigenwerte hat; b) genau einen Eigenwert hat; c) keinen Eigenwert hat; d) zwei Eigenwerte k1 und k2 mit k1=-k2 hat? |
Guten Abend,
mich beschäftigt gerade die gestellte Aufgabe.
Die Aufg. bereitet mir gerade ein paar Schwierigkeiten, weil gerade ein Lehrkraftwechsel vollzogen worden ist und der/die neue Lehrerin nicht so in den Stoff mit Matrizen/Abbildungen drinsteht. Folglich wird das Thema zur Zeit eher oberflächlich (d.h. einfache Berechnung mit CAS) betrachtet und ein wenig Grundwissen fehlt.
Mein Lösungsansatz wäre folgender:
Ich denke, dass die Anzahl der Eigenwerte von der charakterischen Gleichung (also den Polynom) abhängt, da man dort ja bekanntlich die Nullstellen berechnet werden und somit 2, 1 oder gar keine Lösung entstehen kann.
Bloß fallen mir grad keine Beispiele ein, die a) bis d) verdeutlichen und deshalb bitte ich gerade um deutliche Erklärung an einem Beispiel.
Dass es eine charakterische Gleichung gibt (also eine Gleichung für die Rechnung per Hand), habe ich gerade über Google erfahren.
Vielen Dank und schönen Abend!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum zuvor gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Jenz!
> Welche Bedingungen müssen die Matrixelemente erfüllen,
> damit die Matrix a) genau zwei Eigenwerte hat; b) genau
> einen Eigenwert hat; c) keinen Eigenwert hat; d) zwei
> Eigenwerte k1 und k2 mit k1=-k2 hat?
Ist da vielleicht noch eine Angabe über die Matrix gemacht? Z. B. ob es eine [mm] $2\times [/mm] 2$, [mm] $3\times [/mm] 3$ oder [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix sein soll? Wenn ja, dann würde ich nämlich diese "charakteristische Gleichung" (ich nehme an, du meinst das mir bekannte "charakteristische Polynom") berechnen, und dann die Nullstellen davon bzw. Bedingungen dafür.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Jenz |
Das wäre eine 2,2 Matrix (andere haben wir noch nicht besprochen).
Naja, wie muss denn das Polynom aussehen?
Bei [mm] x^2-2=0 [/mm] hätten wir doch 2 Lösungen, oder?
Bei [mm] x^2+2=0 [/mm] hätten wir keine Lösung.
Und bei einer Lösung?
Noch eine andere Frage:
Kann ein Fixpunkt denn auch als Stützvektor einer FixPUNKTGerade dienen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Jenz!
> Das wäre eine 2,2 Matrix (andere haben wir noch nicht
> besprochen).
>
> Naja, wie muss denn das Polynom aussehen?
>
> Bei [mm]x^2-2=0[/mm] hätten wir doch 2 Lösungen, oder?
> Bei [mm]x^2+2=0[/mm] hätten wir keine Lösung.
> Und bei einer Lösung?
Hab' jetzt keine Zeit, das aufzuschreiben, aber schreib die Einträge der Matrix als [mm] a_{1,1}, a_{1,2}, a_{2,1} [/mm] und [mm] a_{2,2} [/mm] und dann schau dir mal z. B. bei Wikipedia (oder vielleicht steht dazu auch etwas in unserer Mathebank - dort aber dann wahrscheinlich im Hochschul-Lexikon), wie man das charakteristische Polynom berechnet. Da musst du unter anderem eine Determinante berechnen. Habt ihr so etwas schon gemacht?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Jenz |
Ok, dann weiß ich jetzt zumindest, dass es mit dem Polynom zu tun hat.
Und mit der charakterischen Gleichung det(A-r*E) kann ich auch per Hand die Eigenwerte berechnen.
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> Das wäre eine 2,2 Matrix (andere haben wir noch nicht
> besprochen).
>
> Naja, wie muss denn das Polynom aussehen?
>
> Bei [mm]x^2-2=0[/mm] hätten wir doch 2 Lösungen, oder?
> Bei [mm]x^2+2=0[/mm] hätten wir keine Lösung.
> Und bei einer Lösung?
Hallo,
eine 2x2-Matrix mit dem charakteristischen Polynom [mm] (x+5)^2 [/mm] wäre eine, die nur einen Eigenwert hätte.
> Noch eine andere Frage:
>
> Kann ein Fixpunkt denn auch als Stützvektor einer
> FixPUNKTGerade dienen?
Es muß sogar, oder? Wenn die Gerade nur aus Fixpunkten bzgl. irgendeiner Abbildung besteht, hat der Stützvektor ja gar keine andere Chance als Ortsvektor eines Fixpunktes zu sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:10 Do 14.02.2008 | | Autor: | Jenz |
Ahh, hab mich vertippt ... meine natürlich eine Fixgerade.
Wenn eine Matrix einen Fixpunkt hat, aber keine Fixpunktgerade, dann denke ich aber wohl, dass der Fixpunkt als Stützvektor einer Fixgerade dient. Natürlich nur, wenn eine Berechnung vorher einen Fixpunkt ergegen hat.
Sonst muss man doch einen Stützvektor berechnen:
A*p + v - p = r * Eigenvektor(a)
Man errechnet den Parameter r
falls r=0 -> keine Fixgerade,
falls r= zb. 5 -> Der Abbildungspunkt P wird durch den Richtungs(Eigen-)vektor mit dem Faktor 5 abgebildet.
Eine dritte Lösung r=r führt zu unendlich vielen Fixgeraden.
Zwischenfrage: Verstehe ich die Bedeutung von r an diesen Stellen richtig?
Wenn also kein Fixpunkt gegeben ist, kann ich doch mit A*p + v - p = 5*a (Eigenvektor) einen Stützvektor bestimmen, oder nicht?
Und wenn r=r ist und kein Fixpunkt vorher berechnet worden ist - kann ich dann irgendeine Zahl für r einsetzen (z.B. r=1) und dann einen Stützvektor berechnen?
Dann wäre die darausfolgende Gerade doch auch nur ein mögliche aus vielen unendlichen, oder?
Naja, ich hoffe, dass ihr mir die vielen Fragen und Zwischenkommentare beantworten könnt, weil morgen schreibe ich die Abivorklausur :)
Schönen Tag noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 14.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 14.02.2008 | | Autor: | Jenz |
Ahh, hab mich vertippt ... meine natürlich eine Fixgerade.
Wenn eine Matrix einen Fixpunkt hat, aber keine Fixpunktgerade, dann denke ich aber wohl, dass der Fixpunkt als Stützvektor einer Fixgerade dient. Natürlich nur, wenn eine Berechnung vorher einen Fixpunkt ergegen hat.
Sonst muss man doch einen Stützvektor berechnen:
A*p + v - p = r * Eigenvektor(a)
Man errechnet den Parameter r
falls r=0 -> keine Fixgerade,
falls r= zb. 5 -> Der Abbildungspunkt P wird durch den Richtungs(Eigen-)vektor mit dem Faktor 5 abgebildet.
Eine dritte Lösung r=r führt zu unendlich vielen Fixgeraden.
Zwischenfrage: Verstehe ich die Bedeutung von r an diesen Stellen richtig?
Wenn also kein Fixpunkt gegeben ist, kann ich doch mit A*p + v - p = 5*a (Eigenvektor) einen Stützvektor bestimmen, oder nicht?
Und wenn r=r ist und kein Fixpunkt vorher berechnet worden ist - kann ich dann irgendeine Zahl für r einsetzen (z.B. r=1) und dann einen Stützvektor berechnen?
Dann wäre die darausfolgende Gerade doch auch nur ein mögliche aus vielen unendlichen, oder?
Naja, ich hoffe, dass ihr mir die vielen Fragen und Zwischenkommentare beantworten könnt, weil morgen schreibe ich die Abivorklausur :)
Schönen Tag noch!
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> Ahh, hab mich vertippt ... meine natürlich eine Fixgerade.
> Wenn eine Matrix einen Fixpunkt hat, aber keine
> Fixpunktgerade, dann denke ich aber wohl, dass der Fixpunkt
> als Stützvektor einer Fixgerade dient. Natürlich nur, wenn
> eine Berechnung vorher einen Fixpunkt ergegen hat.
Hallo,
jeder Ortsvektor eines Punktes einer Geraden kann als Stützvektor dienen.
Ich habe den Eindruck, daß Dir nicht ganz klar ist, daß wir nicht neben Dir am Schreibtisch sitzen und die ganze Zeit zugeschaut haben, was Du tust.
Unten schwirren plötzlich A, p v, ein Eigenvektor herum, Du errechnest parameter und sagst gar nicht vorher, worum es eigentlich geht - mir die Aufgabenstellung zurecht zu raten und dann über richtig und falsch zu befinden, ist mir zu heikel.
Gruß v. Angela
>
> Sonst muss man doch einen Stützvektor berechnen:
>
> A*p + v - p = r * Eigenvektor(a)
>
> Man errechnet den Parameter r
> falls r=0 -> keine Fixgerade,
> falls r= zb. 5 -> Der Abbildungspunkt P wird durch den
> Richtungs(Eigen-)vektor mit dem Faktor 5 abgebildet.
>
> Eine dritte Lösung r=r führt zu unendlich vielen
> Fixgeraden.
>
> Zwischenfrage: Verstehe ich die Bedeutung von r an diesen
> Stellen richtig?
>
> Wenn also kein Fixpunkt gegeben ist, kann ich doch mit A*p
> + v - p = 5*a (Eigenvektor) einen Stützvektor bestimmen,
> oder nicht?
>
> Und wenn r=r ist und kein Fixpunkt vorher berechnet worden
> ist - kann ich dann irgendeine Zahl für r einsetzen (z.B.
> r=1) und dann einen Stützvektor berechnen?
>
> Dann wäre die darausfolgende Gerade doch auch nur ein
> mögliche aus vielen unendlichen, oder?
>
> Naja, ich hoffe, dass ihr mir die vielen Fragen und
> Zwischenkommentare beantworten könnt, weil morgen schreibe
> ich die Abivorklausur :)
>
> Schönen Tag noch!
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