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Hallo,
Ich soll folgendes lösen.
Geben Sie die Matrixdarstellung des LGS an:
[mm] 3x + 4y + 2z = b_1 [/mm]
[mm] 2x + 8y = b_2 [/mm]
[mm] x + z = b_3 [/mm]
Bestimmen Sie alle Vektoren [mm]b= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \in \IR^3 [/mm], für welche es lösbar ist.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge im Fall [mm]b= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm].
Für das erste habe ich Definiert
[mm]A = \begin{pmatrix}
3 & 4 & 2 \\
2 & 8 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] [mm]x=x_1, y=x_2, z=x_3[/mm]
[mm]\gdw A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}[/mm]
Reicht das so?
Für das zweite habe ich das LGS gelöst. Hab dann
[mm]z=b_3-x[/mm]
[mm]x=\left( \bruch{b_2}{2} \right)- 4y[/mm]
[mm]b_2=2b_1 + 4b_3[/mm]
Und hab dann gesagt, 1.Fall: [mm]b_2 \not= 2b_1 + 4b_3[/mm], dann keine Lösung
2.Fall: [mm]b_2=2b_1 + 4b_3 [/mm] , dann ist [mm]x=2b_1 + 2b_3 -4y[/mm] eine Lösung
[mm] \gdw [/mm] Ergebnis: [mm] b_1 + 2b_3 -4y, y , b_3 - x [/mm] ist dann für jedes y eine Lösung, d.h. es gibt unedlich viele Lösungen.
Habe ich damit dann den zweiten Teil mathematisch korrekt beantwortet?
Für den dritten Teil habe ich einfach in meine Bedingungen, die ich im zweiten Teil aufgestellt habe also [mm]x=\bruch{b_2}{2} - 4y [/mm]
[mm]z=b_3 - x [/mm]
[mm]y=y[/mm]
Null für b eingestezt und erhalten dann [mm]x=-4y[/mm]
[mm]z=4y[/mm]
[mm]y=y[/mm]
Also für jedes frei Wählbares y gibt es eine Lösung? Also unendlich viele Lösungen?
Ist das die richtige Lösung für die Fragestellung?
Viele liebe Grüße
Mary
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Mo 27.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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