Matrixdarstellung von D bzgl. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 30.09.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | Sei D: [mm] P_n [/mm] -> [mm] P_n [/mm] gegeben durch (Dp)(t)=p'(t). Finde die Matrixdarstellung von D bezüglich
(a) der (geordneten) Basis B = [mm] (1,x,x^2,...,x^n)
[/mm]
(b) der (geordneten) Basis B' = [mm] (1,1+x,1+x+x^2,...,1+x+x^2+...+x^n)
[/mm]
(Gemeint sind also die Matrizen [mm] [D]_{BB} [/mm] und [mm] [D]_{B'B'}) [/mm] |
Mir fehlt es leider an einem guten Ansatz für dieses Beispiel, daher möchte ich fragen ob euch einer einfällt. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Fr 30.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die spalten der Abbildungsmatrix sind die bilder der Einheitsbasisvektoren!
das sollte dir helfen.
Bis dann lula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Fr 30.09.2011 | | Autor: | kalifat |
Ok, also dann setze ich jetzt einfach hintereinander die Einheitsvektoren ein:
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ ... \\ 0})=\vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0} [/mm] (insgesamt n-1 Zeilen)
[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ ... \\ 0})=\vektor{1 \\ 0 \\ ... \\ 0}
[/mm]
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[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 1})=\vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Und wenn ich jetzt alle Spalten nebeneinander schreibe erhalte ich [mm] [D]_{BB} [/mm] ?
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> Ok, also dann setze ich jetzt einfach hintereinander die
> Einheitsvektoren ein:
>
> [mm]f(\vektor{1 \\
0 \\
... \\
0})=\vektor{0 \\
0 \\
... \\
0}[/mm]
> (insgesamt n-1 Zeilen)
>
> [mm]f(\vektor{0 \\
1 \\
... \\
0})=\vektor{1 \\
0 \\
... \\
0}[/mm]
>
> .
> .
> .
> [mm]f(\vektor{0 \\
0 \\
... \\
1})=\vektor{0 \\
0 \\
... \\
1 \\
0}[/mm]
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, was Du treibst.
Es geht doch um die Ableitungsfunktion.
>
> Und wenn ich jetzt alle Spalten nebeneinander schreibe
> erhalte ich [mm][D]_{BB}[/mm] ?
Sprüchlein zum Auswendiglernen: "In den Spalten vn [mm] $[D]_{BB}$ [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung D in Koordinaten bzgl B"
Also ist doch etwa
[mm] $D(\vektor{0 \\ 0\\0\\1 \\ ... \\ 0}_{(B)}=D(t^3)=3t^2=\vektor{ 0\\ 0 \\ 3\\0\\... \\ 0}_{(B)}$
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Sa 01.10.2011 | | Autor: | kalifat |
Danke für die Antwort. Dann müsste die fertige Matrix folgendemaßen aussehen oder? :
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 &...& 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 &...& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &...& 0 \\ . & . & . & . &...& .\\ . & . & . & . &...& n \\ 0 & 0 & 0 & 0 &...& 0}
[/mm]
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Hallo,
ja, das ist die darstellende Matrix von D bzgl. der Basis B.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 01.10.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich habe jetzt auch noch (b) berechnet, und da erhalte ich folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 &...& 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 &...& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 &...& 0 \\ . & . & . & . &...& .\\ . & . & . & . &...& \bruch{(n+1)*n}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 &...& 0}
[/mm]
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> Ich habe jetzt auch noch (b) berechnet, und da erhalte ich
> folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 &...& 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 &...& 0 \\
0 & 0 & 0 & 6 &...& 0 \\
. & . & . & . &...& .\\
. & . & . & . &...& \bruch{(n+1)*n}{2} \\
0 & 0 & 0 & 0 &...& 0}[/mm]
>
Hallo,
diese Matrix ist nicht richtig.
Bitte zeig nicht nur Deine Lösungen, sondern auch die Gedanken und Rechnungen, die Dich zu dieser Lösung gebracht haben. Sonst ist eine sinnvolle Korrektur nicht möglich - und diejenigen, die bereit sind, Dir zu helfen (wie z.B. ich), wollen ja nicht extra Papier und Stift in die Hand nehmen müssen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 So 02.10.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich bin bei (b) genauso wie bei (a) verfahren. Ich habe nacheinander die Einheitsvektoren eingesetzt.
[mm] D(\vektor{1\\ 0\\0\\ ... \\ 0} [/mm] = [mm] D(1)=0=D(\vektor{0\\ 0\\0\\ ... \\ 0}
[/mm]
[mm] D(\vektor{0\\ 1\\0\\ ... \\ 0} [/mm] = D(1+t)=1 = [mm] D(\vektor{1\\ 0\\0\\ ... \\ 0}
[/mm]
[mm] D(\vektor{0\\ 0\\1\\ ... \\ 0} [/mm] = [mm] D(1+t+t^2)=1+2t [/mm] = [mm] D(\vektor{0\\ 3\\0\\ ... \\ 0}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 So 02.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin bei (b) genauso wie bei (a) verfahren. Ich habe
> nacheinander die Einheitsvektoren eingesetzt.
>
> [mm]D(\vektor{1\\ 0\\0\\ ... \\ 0}[/mm] = [mm]D(1)=0=D(\vektor{0\\ 0\\0\\ ... \\ 0}[/mm]
>
> [mm]D(\vektor{0\\ 1\\0\\ ... \\ 0}[/mm] = D(1+t)=1 = [mm]D(\vektor{1\\ 0\\0\\ ... \\ 0}[/mm]
>
> [mm]D(\vektor{0\\ 0\\1\\ ... \\ 0}[/mm] = [mm]D(1+t+t^2)=1+2t[/mm] =
> [mm]D(\vektor{0\\ 3\\0\\ ... \\ 0}[/mm]
???????
Wie das ? Es ist 1+2t=-1+2(1+t)
FRED
> .
> .
> .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 So 02.10.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich bin jetzt etwas verwirrt. Wie schaut denn zum Beispiel [mm] D(1+t+t^2)=1+2t=-1+2(1+t)=? [/mm] aus?
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> Ich bin jetzt etwas verwirrt.
Hallo,
und ich gewinne den Eindruck, daß Dir komplett entgangen ist, was Koordinatenvektoren sind.
Beispiel: Wir betrachten den Vektorraum mit der Basis [mm] B:=(e^x, \sin [/mm] x, [mm] \cos [/mm] x).
Es ist [mm] \vektor{1\\0\\0}_{(B)}=1*e^x+0*\sinx+0*\cos [/mm] x [mm] =e^x.
[/mm]
Entsprechend ist [mm] e^x+2\sin x+3\cos x=\vektor{1\\2\\3}_{(B)}.
[/mm]
> Wie schaut denn zum Beispiel
> [mm]D(1+t+t^2)=1+2t=-1+2(1+t)=?[/mm] aus?
Diese Frage solltest Du Dir nun selbst beantworten können - und vor allem die, warum Fred 1+2t so und nicht anders geschrieben hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 02.10.2011 | | Autor: | kalifat |
Mir ist bei deinem Beispiel bzgl. der Koordinatenvektoren eines immer noch nicht klar. Wieso finden sich vor dem Sinus und dem Kosinus jetzt plötzlich ein 2er und und ein 3er? [mm] e^x+2\sin x+3\cos [/mm] x
Ist es so richtig: [mm] D(1+t+t^2)=1+2t=-1+2(1+t)=\vektor{-1 \\ 2\\ 0\\...\\0 }
[/mm]
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> Mir ist bei deinem Beispiel bzgl. der Koordinatenvektoren
> eines immer noch nicht klar. Wieso finden sich vor dem
> Sinus und dem Kosinus jetzt plötzlich ein 2er und und ein
> 3er? [mm]e^x+2\sin x+3\cos[/mm] x
Hallo,
weil ich mir das einfach so ausgedacht habe, damit ich Dir zeigen kann, wie man von der Linearkombination der Basisvektren zum kordinatenvektor kommt.
>
> Ist es so richtig: [mm]D(1+t+t^2)=1+2t=-1+2(1+t)=\vektor{-1 \\
2\\
0\\
...\\
0 }[/mm]
Ja.
Gruß v. Angela
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