Matrixdarstellung einer Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Fr 11.07.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Matrixdarstellung einer Abbildung [mm] f:\IT^2 \to \IR^3, f(e_1)=\vektor{1\\2\\1},f(e_2)=\vektor{1\\0\\-2} [/mm] bzgl. der kanonischen Basis in [mm] \IR^2 , \IR^3 [/mm].
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der gleichen Abbildung zu den Basen [mm] B_2=\{\vektor{1\\1},\vektor{1\\2}\}, B_3=\{\vektor{0\\1\\1},\vektor{1\\0\\1},\vektor{1\\1\\0}\} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
bzgl. der kanonischen Basis kriege ich das hin: [mm] \pmat{1&1\\2&0\\1&-2} [/mm], aber wie geht es dann weiter ?
Danke, Susanne.
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Hallo Susanne,
> Bestimmen Sie die Matrixdarstellung einer Abbildung [mm]f:\IR^2 \to \IR^3, f(e_1)=\vektor{1\\2\\1},f(e_2)=\vektor{1\\0\\-2}[/mm]
> bzgl. der kanonischen Basis in [mm]\IR^2 , \IR^3 [/mm].
> Bestimmen
> Sie die Matrixdarstellung der gleichen Abbildung zu den
> Basen [mm]B_2=\{\vektor{1\\1},\vektor{1\\2}\}, B_3=\{\vektor{0\\1\\1},\vektor{1\\0\\1},\vektor{1\\1\\0}\} [/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> bzgl. der kanonischen Basis kriege ich das hin:
> [mm]\pmat{1&1\\2&0\\1&-2} [/mm], ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber wie geht es dann weiter ?
>
> Danke, Susanne.
Na, du hast doch eine lineare Abbildung und kennst die Bilder der kanonischen Basis.
Damit ist doch das Bild des ersten Basisvektors aus [mm] B_2: $f\vektor{1\\1}=1\cdot{}f\vektor{1\\0}+1\cdot{}f\vektor{0\\1}=....$ [/mm]
Das Bild, das du hierbei erhältst, wie üblich als LK der Basisvektoren aus [mm] B_3 [/mm] darstellen und die Koeffizienten als erste Spalte in die gesuchte Matrix stopfen
Genauso mit dem 2.Basisvektor...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Fr 11.07.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo schachuzipus,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
> Na, du hast doch eine lineare Abbildung und kennst die
> Bilder der kanonischen Basis.
>
> Damit ist doch das Bild des ersten Basisvektors aus [mm]B_2:[/mm]
> [mm]f\vektor{1\\1}=1\cdot{}f\vektor{1\\0}+1\cdot{}f\vektor{0\\1}=....[/mm]
ok, dann kann ich [mm] B_2 [/mm] mit der Standardbasis so darstellen: [mm] \pmat{1&1\\1&2} [/mm]. Wäre das dann [mm] _EM_B [/mm] (E=Standardbasis) ?
[mm] B_3 [/mm] wäre dann [mm] \pmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} [/mm]. Aber wie komme ich auf die gesuchte 3x2 Matrix ?
Danke, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Fr 11.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo susanne
Lies doch den post von schach... nochmal genau durch! Wort für Wort, da steht genau, was du machen musst!
Gruss leduart
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Bestimmen Sie die Matrixdarstellung einer Abbildung $ [mm] f:\IT^2 \to \IR^3, f(e_1)=\vektor{1\\2\\1},f(e_2)=\vektor{1\\0\\-2} [/mm] $ bzgl. der kanonischen Basis in $ [mm] \IR^2 [/mm] , [mm] \IR^3 [/mm] $.
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der gleichen Abbildung zu den Basen $ [mm] B_2=\{\vektor{1\\1},\vektor{1\\2}\}, B_3=\{\vektor{0\\1\\1},\vektor{1\\0\\1},\vektor{1\\1\\0}\} [/mm] $
> > Na, du hast doch eine lineare Abbildung und kennst die
> > Bilder der kanonischen Basis.
> >
> > Damit ist doch das Bild des ersten Basisvektors aus [mm]B_2:[/mm] > Danke, Susanne.
> >
> [mm]f\vektor{1\\1}=1\cdot{}f\vektor{1\\0}+1\cdot{}f\vektor{0\\1}=....[/mm]
>
> ok, dann kann ich [mm]B_2[/mm] mit der Standardbasis so darstellen:
> [mm]\pmat{1&1\\1&2} [/mm]. Wäre das dann [mm]_EM_B[/mm] (E=Standardbasis) ?
>
> [mm]B_3[/mm] wäre dann [mm]\pmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} [/mm]. Aber wie komme
> ich auf die gesuchte 3x2 Matrix ?
>
Hallo,
Du bist jetzt nicht so recht auf das eingegangen, was schachuzipus gesagt hat.
Ich empfehle Dir, seinen Weg mal zu gehen. Er hat nämlich in meinen Augen den großen Vorteil, daß man dabei gut merkt, was man tut.
Du steuerst anscheinend auf eine - nur auf den ersten Blick - andere Variante zu:
Du kannst
[mm] _{B_3}M_{B_2}(f) [/mm] auch schreiben als [mm] _{B_3}M_{B_2}(f)=_{B_3}M_{E_3}(id)*_{E_3}M_{E_2}(f)*_{E_2}M_{B_2}(id).
[/mm]
Vorne und hinten hast Du dann die Transformationsmatrizen für die Übergänge von einer Matrix zur anderen.
Deine Matrix [mm] \pmat{1&1\\1&2} [/mm] ist die Matrix [mm] _{E_2}M_{B_2}(id),
[/mm]
[mm] \pmat{0&1&1\\1&0&1\\1&1&0} [/mm] ist die Matrix [mm] _{E_3}M_{B_3}(id).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Fr 11.07.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela, lieber leduart,
vielen Dank für Eure Hilfe !
> Bestimmen Sie die Matrixdarstellung einer Abbildung [mm]f:\IT^2 \to \IR^3, f(e_1)=\vektor{1\\2\\1},f(e_2)=\vektor{1\\0\\-2}[/mm]
> bzgl. der kanonischen Basis in [mm]\IR^2 , \IR^3 [/mm].
> Bestimmen
> Sie die Matrixdarstellung der gleichen Abbildung zu den
> Basen [mm]B_2=\{\vektor{1\\1},\vektor{1\\2}\}, B_3=\{\vektor{0\\1\\1},\vektor{1\\0\\1},\vektor{1\\1\\0}\}[/mm]
>
Ich fürchte, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...
Also, der Basisvektor [mm] \vektor{1\\1} [/mm] ist kanonisch dargestellt [mm] 1 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 [/mm].
Kann ich dann einfach die Bilder davon addieren ?
Das wäre dann für [mm] \vektor{1\\1}=\vektor{2\\2\\-1} [/mm] und das muss ich jetzt mit der neuen Basis [mm] B_3 [/mm] darstellen: [mm] \vektor{-\bruch{1}{2}\\-\bruch{1}{2}\\\bruch{5}{2}} [/mm]
..und das Gleiche mit dem 2. Vektor ?
Stimmt das so ?
Angela, vielen Dank für die Eklärung der Transformationsmatrizen !
Danke, Susanne.
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> Liebe Angela, lieber leduart,
> vielen Dank für Eure Hilfe !
>
> > Bestimmen Sie die Matrixdarstellung einer Abbildung [mm]f:\IT^2 \to \IR^3, f(e_1)=\vektor{1\\2\\1},f(e_2)=\vektor{1\\0\\-2}[/mm]
> > bzgl. der kanonischen Basis in [mm]\IR^2 , \IR^3 [/mm].
> >
> Bestimmen
> > Sie die Matrixdarstellung der gleichen Abbildung zu den
> > Basen [mm]B_2=\{\vektor{1\\1},\vektor{1\\2}\}, B_3=\{\vektor{0\\1\\1},\vektor{1\\0\\1},\vektor{1\\1\\0}\}[/mm]
>
> >
> Ich fürchte, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch...
> Also, der Basisvektor [mm]\vektor{1\\1}[/mm] ist kanonisch
> dargestellt [mm]1 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 [/mm].
> Kann ich dann
> einfach die Bilder davon addieren ?
Hallo,
ja, das ist ja eine wichtige Eigenschaft von linearen Abbildungen.
> Das wäre dann f( [mm]\vektor{1\\1})=\vektor{2\\2\\-1}_{(E_3)}[/mm]
Ja.
> und das
> muss ich jetzt mit der neuen Basis [mm]B_3[/mm] darstellen:
Genau.
> [mm]\vektor{-\bruch{1}{2}\\-\bruch{1}{2}\\\bruch{5}{2}}_{(B_3)}[/mm]
Kontrollieren wir kurz, ob es stimmt:
[mm] \vektor{-\bruch{1}{2}\\-\bruch{1}{2}\\\bruch{5}{2}}_{(B_3)}=-\bruch{1}{2}\vektor{0\\1\\1}_{(E_3)}-\bruch{1}{2}\vektor{1\\0\\1}_{(E_3)}+\bruch{5}{2}\vektor{1\\1\\0}_{(E_3)}=\vektor{2\\2\\-1}_{(E_3)}
[/mm]
>
> ..und das Gleiche mit dem 2. Vektor ?
Ja.
>
> Stimmt das so ?
Ja.
>
> Angela, vielen Dank für die Eklärung der
> Transformationsmatrizen !
Gern geschehen.
Gruß v. Angela
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