Matrixdarstellung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Antimon |
Hallo zusammen,
ich hätte da 'ne Frage, die ich immer noch nicht wirklich versteh, vielleicht kann mir ja jemand helfen. Und zwar lern ich gerade auf eine Prüfung in Lineare Algebra... Ich hänge an der Frage, zu erklären, was der Zusammenhang einer linearen Abbildung und einer Matrix ist.
ich weiß, dass jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet werden kann (also genauer: sei Abb. f:V [mm] \to [/mm] W gegeben und dimV=n und dimW=m dann ex eine Matrix mxn) aber genau verstehen tu ich's nicht...
komme einfach nicht weiter mit der Frage...
also schon mal danke....
Liebe Grüßle
Antimon
Ach ja, ich habe die Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Sa 08.10.2005 | | Autor: | kirjava |
Also, die Matrix enthält die Abbildungen der Basisvektoren.
Und zwar hängt das damit zusammen, dass lineare Abbildungen über die Abbildung der Basisvektoren eindeutig definiert sind.
Da nämlich jeder Vektor darstellbar ist als Linearkombination der Basisvektoren und: [mm] f(\summe_{i=1}^{n}a_{i} x_{i} [/mm] ) = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}f(x_{i}) [/mm] (mit f lineare Abb. , [mm] a_{i} [/mm] die Koeffizienten und [mm] x_{i} [/mm] die Basisvektoren)
Ich bin neu hier und weiss nicht, ob das als vollständige Antwort zählt... Hoffe aber, ich konnte dir weiterhelfen. Viel Glück für deine Prüfung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 08.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo euch beiden,
falls es noch niemand erwähnt hat : ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
und @kirjava: Danke für deine Bereitschaft zu helfen !
Zur eigentlichen Frage :
Es gilt nicht nur, dass jede Abbildung als Matrix dargestellt werden kann, sondern auch die Umkehrung : jede Matrix stellt auch eine lineare Abbildung dar !!
Eigentlich könnte man es so zusammenfassen :
Gegeben sei eine lineare Abbildung f von V nach W, dann kann man nach der Wahl einer Basis von V und W ein eindeutige Matrix A finden, so dass man leicht die Bilder aller Vektoren aus V unter f berechnen kann (in gewählter Basisdarstellung), denn dann gilt : f(v)=A*v
(die letzte Gleichung ist der wesentliche Zusammenhang)
Andersrum definiert ein Matrix A bei der Wahl von Basen aus V und W auch eine Abbildung f, denn die Matrixmultiplikation erfüllt ja gerade alle Eigenschaften, die eine lineare Abbildung erfüllen muss.
Wie man an die Abbildung bzw an die Matrix kommt, wurde ja dann schon von kirjava besprochen.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Antimon |
Danke,...
Jetzt ist's schon klarer... Ich hab einfach Probleme, mir das vorzustellen... Die Vorlesung liegt schon so weit zurück....
Aber nochmal Danke...
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