Matrix zu Eigenvektoren finden < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die symmetrischen reellen 3x3-Matrizen mit Eigenvektoren
[mm] v_1= \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}, v_2= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
a) Was lässt sich über die Eigenwerte dieser Matrizen aussagen?
b) Geben Sie eine Parametrisierung der Menge aller dieser Matrizen an. |
Hallo.
zu a) Sie sind reell und es gilt ja, dass Eigenvektoren zu versch. Eigenwerten orthogonal sind. In diesem Fall ist [mm] v_1 [/mm] orthogonal zu [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3, v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind aber nicht orthogonal zueinander. Demnach müsste es 2 Eigenwerte geben, wobei einer algebraische Vielfachheit 1 und der andere die algebraische Vielfachheit 2 besitzt. Mehr wüsste ich jetzt dazu nicht.
b) Hier brauche ich ein wenig Hilfe. Ich weiß, dass für [mm] A\in M(nxn;\IR) [/mm] (symmetrisch) [mm] A=SDS^T [/mm] gilt, wobei S orthogonal mit orthonormierten Eigenvektoren in den Spalten ist und D die Diagonalmatrix mit Eigenwerten, aber die Eigenvektoren sind ja nichtmal alle orthogonal zueinander, also weiß ich nicht wie ich S aufstellen soll....(falls das überhaupt der richtige Lösungsansatz ist)
Vielleicht kann mir jemand einen Ansatz geben?
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> Betrachten Sie die symmetrischen reellen 3x3-Matrizen mit
> Eigenvektoren
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> [mm]v_1= \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}, v_2= \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_3[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> a) Was lässt sich über die Eigenwerte dieser Matrizen
> aussagen?
> b) Geben Sie eine Parametrisierung der Menge aller dieser
> Matrizen an.
>
> Hallo.
>
Hallo!
> zu a) Sie sind reell und es gilt ja, dass Eigenvektoren zu
> versch. Eigenwerten orthogonal sind.
Ja:
Matrix symmetrisch, Eigenwerte verschieden ==> Eigenvektoren orthogonal.
> In diesem Fall ist [mm]v_1[/mm]
> orthogonal zu [mm]v_2[/mm] und [mm]v_3, v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] sind aber nicht
> orthogonal zueinander.
Ja.
> Demnach müsste es 2 Eigenwerte
> geben, wobei einer algebraische Vielfachheit 1 und der
> andere die algebraische Vielfachheit 2 besitzt.
Dieser Schluß ist nicht ganz richtig.
Richtig ist, daß [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] nicht zu verschiedenen Eigenwerten gehören können. Es gibt also max. zwei verschiedene Eigenwerte.
Aber es fällt mir kein Grund ein, der verhindern könnte, daß alle drei Vektoren zum selben Eigenwert gehören.
> Mehr
> wüsste ich jetzt dazu nicht.
>
> b) Hier brauche ich ein wenig Hilfe. Ich weiß, dass für
> [mm]A\in M(nxn;\IR)[/mm] (symmetrisch) [mm]A=SDS^T[/mm] gilt, wobei S
> orthogonal mit orthonormierten Eigenvektoren in den Spalten
> ist und D die Diagonalmatrix mit Eigenwerten, aber die
> Eigenvektoren sind ja nichtmal alle orthogonal zueinander,
> also weiß ich nicht wie ich S aufstellen soll....(falls
> das überhaupt der richtige Lösungsansatz ist)
>
> Vielleicht kann mir jemand einen Ansatz geben?
Angenommen, es gibt nur einen Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Dann nimmst Du als Eigenvektoren halt [mm] v_1, v_2 [/mm] und einen dritten dazu orthogonalen [mm] w_3. [/mm] Noch normieren, schwupps hast Du eine ONB aus Eigenvektoren.
Angenommen Du hast verschiedene EWe [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu.
[/mm]
Wie Du bereits oben schreibst, ist [mm] v_1 [/mm] EV zu [mm] \lambda [/mm] und [mm] v_2, v_3 [/mm] Eigenvektoren zu [mm] \mu. [/mm] Suche einen Vektor [mm] w_3\in , [/mm] welcher orthogonal ist zu [mm] v_2.
[/mm]
Nun noch normieren, und schon hast Du alles, was Du brauchst.
LG Angela
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