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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mi 19.08.2009 | | Autor: | walli74 |
Hallo zusammen
Ich hoffe ihr könnt mir bei ein paar frage helfen die mir noch auf der seele brennen
Folgende aufgabe habe ich zu lösen eine matrix A ist gegeben ich soll nun jeweils mit begründung sagen ob diese matrix Symmetrisch, diagonalähnlich, regulär ist, und eine matrix C angeben so das die matrix C^-1*A*C diagonalgestalt hat .
Außerdem noch die EW und EV berechnen.
A:= [mm] \pmat{ -12 & 10 & -5 \\ -15 & 13 & -5 \\0 & 0 & 3 }
[/mm]
Also Symmetrie ist ja simpel A ungleich [mm] A^{T} [/mm] daher nicht symmetrisch
Als Ew habe ich jeweils 3,3,-2
Als EV zu 3
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
EV zu -2
[mm] \vektor{1 \\1 \\0}
[/mm]
1.)Mein problem ist nun wie erkenne ich orthogonalität anhand der EW, falls das möglich ist ???
kann ich in jedem fall sagen, da EW nicht vom betrag 1 sind, ist die matrix nicht ortogonal ???
Weil ich gelesen habe das dies nicht unbedingt immer so sein muss.
Oder muss ich über den betrag der spaltenvektoren und dem Skalarprodukt der spaltenvektoren die Orthogonalität der einzelnen spaltenvektoren untereinander prüfen???
2.)regulär ist die matrix jedenfalls da alle Ew ungleich null richtig ???
3.) diagonalähnlich: also es heisst hier in meinem skript verkürzt ausgedrückt, falls n verschiedene EW, gehören dazu auch auch n LU EV, dann diagonalähnlich. Hier hab ich aber zwei gleiche EW, reicht es aus das die EV LU sind um zu sagen das A diag. ist ???
oder wie kann ich das begründen ob diag. oder nicht, wenn ich doppelte EW habe ???
3.) die matrix C bilde ich doch in jedem fall aus den EV als spalten oder nicht ? Oder müssen diese noch normalisiert(normiert) werden in bestimmten fällen ???
Und zu guter letzt 4.)
Eine symmetrische matrix hat in jedem fall reele EW ???
in jedem fall verschiedene EW zu denen LU EV gehören ???
und ist in jedem fall Diag. ???
So dass wars, ich hoffe auf eure hilfe da die klausur bald ansteht
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1) [mm] Q^{T}*Q=I
[/mm]
2) ja
3) wenn du einen "doppelten" EW hast, hast du algebraische Vielfachheit 2.
Die Matrix ist diagnolisierbar, wenn auch die geometrische Vielfachheit 2 ist.
Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der l.u. EV.
4) niht für eine Eigenwertzerlegung
5) wenn die matrix selbst reell ist, hat sie reelle EW.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 19.08.2009 | | Autor: | walli74 |
ok vielen dank erstmal für die beantwortung meiner fragen
zu 4 nochmal was meinst du, das sie nicht zwangsweise aus den eigenvektoren besteht oder nicht normiert werden muss ???
zu 5 also ist es nicht richtig das symmetrische matrizen immer verschiedene EW haben Also auch nicht immer LU EV daher auch nicht immer diag. sind ???
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4) weder noch, ich meine sie besteht aus EV, nicht unbedingt normiert.
5) Die Einheitsmatrix ist symm. und hat den doppelten EW 1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 19.08.2009 | | Autor: | walli74 |
Ok, also symmetrische haben nicht unbedingt verschiedene EW und die EV müssen also nicht unbedingt normiert sein, dann sollte jetzt alles klar sein.
Vielen Danke für die antworten
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> Ok, also symmetrische haben nicht unbedingt verschiedene EW
> und die EV müssen also nicht unbedingt normiert sein, dann
> sollte jetzt alles klar sein.
Hallo,
nochmal zur Sicherheit:
reelle nxn-symmetrische Matrizen haben reelle Eigenwerte.
(Die zugehörigen Eigenvektoren kann man natürlich normieren.)
Sie sind diagonalisierbar.
Sie sind sogar orthogonal diagonalisierbar, es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind bei symmetrischen Matrizen "automatisch" orthogonal.
Gruß v. Angela.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 19.08.2009 | | Autor: | walli74 |
Danke angela, soweit alles klar also kann man zu symmetrischen matrizen nur sagen reelle matrix dann auch reelle Ew
zu n verschiedenen Ew gehören auch n LU EV, sie sind diagonalisierbar, und A^-1 = [mm] A^T.
[/mm]
Zur normierung noch eine kurze frage, eine matrix C mit der ich die Matrix C^-1*A*C auf diagonalgestalt bringt, muss nicht normiert sein um eine diagonalgestalt zu erreichen kann abernormeirt sein, hab ich das richtig verstanden ???
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Richtig verstanden.
Der Vorteil ist dann, das C eine Orthogonalmatrix ist und daher [mm] C^{-1}=C^T [/mm] gilt.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:57 Mi 19.08.2009 | | Autor: | XPatrickX |
> 5) wenn die matrix selbst reell ist, hat sie reelle EW.
>
Hallo,
das stimmt nicht, denn die reelle Matrix [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] hat die komplexen Eigenwerte $i, -i$.
Gruß Patrick
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:29 So 30.08.2009 | | Autor: | awakening |
Ich bin davon ausgegangen, dass es um symmetrische Matrizen geht, da ich Bezug auf die gestellte Frage genommen hab - und die Frage bezog sich ursprünglich auf symmetrische Matrizen.
Hätte ich aber noch dazuschreiben sollen hast du recht =D
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