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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mo 22.12.2008 | | Autor: | damaja |
Hallo,
weiß jemand, wie der Satz oder die Operation heißt, wenn man eine Matrix symmetrisch macht?
Also z.B.
Matrix A ist quadratisch, bekannt
Matrix T ist orthogonal, auch bekannt
Und
[mm] B = T^{t}*A*T [/mm]
ist dann automatisch symmetrisch.
Danke + Gruß
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> Hallo,
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> weiß jemand, wie der Satz oder die Operation heißt, wenn
> man eine Matrix symmetrisch macht?
> Also z.B.
> Matrix A ist quadratisch, bekannt
> Matrix T ist orthogonal, auch bekannt
>
> Und
> [mm]B = T^{t}*A*T[/mm]
> ist dann automatisch symmetrisch.
Hallo,
irgendwie bin ich da etwas skeptisch...
Meinst Du vielleicht dies: für symmetrische Bilinearformen über Vektorräumen endlicher Dimension existiert eine Basis, in der die darstellende Matrix Diagonalgestalt hat (falls [mm] char(K)\ne [/mm] 2)
gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 22.12.2008 | | Autor: | damaja |
Hallo,
bist du skeptisch, dass man auf diese Art IMMER eine symmetrische Matrix erhält?
Gruß
H.
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> bist du skeptisch, dass man auf diese Art IMMER eine
> symmetrische Matrix erhält?
Hallo,
daß das i.a. nicht der Fall ist, kann man ja ausrechnen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }*\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 }*\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1}*\pmat{ 3 & 1 \\ 3 & 3 }= \bruch{1}{2}\pmat{ 6 & 4 \\ 0 & -2}
[/mm]
Ich bin aber sogar sehr skeptisch, ob man für jede beliebige Matrix A überhaupt so eine orthogonale Matrix T findet: das würde ja bedeuten, daß jede quadratische Matrix ähnlich ist zu einer symmetrischen, und in der Konsequenz, daß jede reelle quadratische Matrix nur reelle Eigenwerte hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Di 23.12.2008 | | Autor: | damaja |
Ja, natürlich!
Dein Einwand hat mich darauf gebracht, warum links und rechts von der Matrix A diese Matrizen stehen...
Sorry!
Also es geht darum, dass A selbst symmetrisch ist, aber das Produkt [mm] A*T [/mm] nicht mehr symmetrisch ist.
Da eine symmetrische Matrix gewünscht ist, wird sie links mit der Transponierten von T multipliziert (T ist orthogonal).
Gibt es DAZU einen Satz oder Namen für dieses Phänomänen, dass [mm] (T^{t}*A*T) [/mm] wieder symmetrisch ist?
Danke + nochmals sorry für die Verwirrung, aber dich kann man ja anscheinend nicht so leicht verwirren ^^
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Hi
> Gibt es DAZU einen Satz oder Namen für dieses Phänomänen,
> dass [mm](T^{t}*A*T)[/mm] wieder symmetrisch ist?
So Besonders ist das ja nicht. Kann man ja einfach zeigen:
[mm] (T^TAT)^T=T^TA^TT^{T^T}\underset{A=A^T}{=}T^TAT
[/mm]
Wofür brauchst du das ganze denn?
Gruß Patrick
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