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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{(n x n)} [/mm] eine Matrix dr folgenden Gestalt
A= [mm] \pmat{A^*& a_{1} \\ a^{T}_{2} & \lambda },
[/mm]
wobei A* [mm] \in \IR^{(n-1)x(n-1)} [/mm] eine reguläre Matrix, [mm] a_{1}, a_{2} \in \IR^{(n-1)x1} [/mm] und [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt. Darüber hinaus ist [mm] \lambda [/mm] - [mm] a^{T}_{2} (A^{*})^{-1} a_{1} \not= [/mm] 0 erfüllt.
a) zeigen Sie, dass dann A regulär ist.
b) bestimmen Sie xie Inverse [mm] A^{-1} [/mm] |
Hallo,
ich muss die obige Aufgabe lösen. Leider habe ich überhaupt keinen Ansatz. Kann mir jmd Tipps geben? Wo und wie sollte ich anfangen, wie kann ich das Ganze zeigen? Ich bin über jede Hilfe dankbar.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:16 Mo 30.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\in \IR^{(n x n)}[/mm] eine Matrix dr folgenden Gestalt
> A= [mm]\pmat{A^*& a_{1} \\ a^{T}_{2} & \lambda },[/mm]
Die Matrix in A sieht so aus: [mm] A^{\*}
[/mm]
> wobei A* [mm]\in \IR^{(n-1)x(n-1)}[/mm]
> eine reguläre Matrix, [mm]a_{1}, a_{2} \in \IR^{(n-1)x1}[/mm] und
> [mm]\lambda \in \IR[/mm] gilt. Darüber hinaus ist [mm]\lambda[/mm] -
> [mm]a^{T}_{2} (A^{*})^{-1} a_{1} \not=[/mm] 0 erfüllt.
Auch hier:
[mm] a^{T}_{2} (A^{\*})^{-1} a_{1} [/mm]
>
> a) zeigen Sie, dass dann A regulär ist.
> b) bestimmen Sie xie Inverse [mm]A^{-1}[/mm]
> Hallo,
>
> ich muss die obige Aufgabe lösen. Leider habe ich
> überhaupt keinen Ansatz. Kann mir jmd Tipps geben? Wo und
> wie sollte ich anfangen, wie kann ich das Ganze zeigen? Ich
> bin über jede Hilfe dankbar.
zeige: [mm] Kern(A)=\{0\}.
[/mm]
Dazu sei [mm] x=(x_1,...,x_n)^T \in \IR^n [/mm] und Ax=0.
Setze [mm] \overline{x}:=(x_1,...,x_{n-1})^T \in \IR^{n-1}.
[/mm]
Dann sieht man: [mm] A^{\*}\overline{x}=0.
[/mm]
Da [mm] A^{\*} [/mm] regulär ist, folgt [mm] x_1=...=x_{n-1}=0.
[/mm]
Zeige nun Du: [mm] x_n=0.
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße
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Ich danke dir, aber irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter.
Also bei quadratischen Matrizen kann man doch anhand der Determinante sagen, ob ein Kern existiert oder nicht. Wenn die Determinante ungleich Null ist, ist der Kern ja gleich dem Nullvektor, weil das LgS ja genau eine Lösung hat und die Mtarix damit vollen Rang hat. Damit ist ja das Erste was du geschrieben hast gezeigt. Aber ich komme nicht weiter :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 30.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich danke dir, aber irgendwie komme ich trotzdem nicht
> weiter.
> Also bei quadratischen Matrizen kann man doch anhand der
> Determinante sagen, ob ein Kern existiert oder nicht.
Der Kern existiert immer !!!
> Wenn
> die Determinante ungleich Null ist, ist der Kern ja gleich
> dem Nullvektor
nein, dann besteht der Kern nur aus dem Nullvektor.
> , weil das LgS ja genau eine Lösung hat und
> die Mtarix damit vollen Rang hat. Damit ist ja das Erste
> was du geschrieben hast gezeigt.
Was ist denn "das Erste"
> Aber ich komme nicht
> weiter :(
Ich hab Dir doch fast alles vorgemacht. Du musst nur noch begründen, warum [mm] x_n=0 [/mm] ist. Dazu schreibe Dir das LGS Ax=0 ausführlich auf und schau genau hin.
FRED
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Also habe ich ja Kern(A)={0} damit begründet oder nicht?
Ok, ich versuche es dann so.
Wie bestimme ich denn das Inverse von A?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 02.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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